[論文レビュー] Dominant dimension and tilting modules

Van C. Nguyen, Idun Reiten+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グローバル次元に依存せず、アーティン代数が射影的・インジェクティブな部分代数によって生成され、コ生成されるトランスファーモジュールをもつことと、その支配的次元が2以上であることが同値であることを確立している。主な貢献は、このようなトランスファーモジュールおよびその自己準同型代数の特徴付けであり、アウスランダー代数、1-アウスランダー・ゴレンシュタイン代数、三角行列代数、ナカヤマ代数への応用を含む。

ABSTRACT

We study which algebras have tilting modules that are both generated and cogenerated by projective-injective modules. Crawley-Boevey and Sauter have shown that Auslander algebras have such tilting modules; and for algebras of global dimension $2$, Auslander algebras are classified by the existence of such tilting modules. In this paper, we show that the existence of such a tilting module is equivalent to the algebra having dominant dimension at least $2$, independent of its global dimension. In general such a tilting module is not necessarily cotilting. Here, we show that the algebras which have a tilting-cotilting module generated-cogenerated by projective-injective modules are precisely $1$-Auslander-Gorenstein algebras. When considering such a tilting module, without the assumption that it is cotilting, we study the global dimension of its endomorphism algebra, and discuss a connection with the Finitistic Dimension Conjecture. Furthermore, as special cases, we show that triangular matrix algebras obtained from Auslander algebras and certain injective modules, have such a tilting module. We also give a description of which Nakayama algebras have such a tilting module.

研究の動機と目的

• 射影的・インジェクティブな部分代数によって生成され、コ生成されるトランスファーモジュールをもつアーティン代数を特徴付けること。
• グローバル次元に依存しない、このようなトランスファーモジュールが存在する明確な条件を同定すること。
• この部分代数においてトランスファーモジュールかつコトランスファーモジュールをもつ代数のクラスを特定し、1-アウスランダー・ゴレンシュタイン代数と関連付けること。
• このようなトランスファーモジュールの自己準同型代数のグローバル次元を調べ、Finitistic Dimension 猜想との関係を明らかにすること。
• 特に三角行列代数やナカヤマ代数といった特殊クラスについて、明示的な構成と特徴付けを提供すること。

提案手法

• 代数 $\Lambda$ のすべての不分解射影的・インジェクティブなモジュールの直和を $\widetilde{Q}$ とおくとき、部分カテゴリ $\mathcal{C}_\Lambda = \operatorname{Gen}\widetilde{Q} \cap \operatorname{Cogen}\widetilde{Q}$ を定義する。
• 射影的およびインジェクティブなモジュールに関するホモロジー的条件を用いて、$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ と $\mathcal{C}_\Lambda$ 内のトランスファーモジュールの存在が同値であることを確立する。
• トランスファーモジュールを $T_\mathcal{C} \simeq \widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$ として構成する。ここで $P_i$ は不分解射影的で非インジェクティブなモジュールを走る。
• シンジーギーおよびコシンジーギーの構造を用いて、代数の Kupisch 系列および許容可能な系列を用いて、トランスファーモジュールを明示的に記述する。
• Kupisch 系列および許容可能な系列の分析を通じて、ナカヤマ代数の理論を応用し、支配的次元 ≥2 のための基準を導出する。
• インデックス $j - c_j$ および $\mathcal{P}_c$ と $\mathcal{Q}_c$ 内の包含関係に関する組合せ的条件を用いて、$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ を満たす代数を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティン代数がその射影的・インジェクティブな部分代数によって生成され、コ生成されるトランスファーモジュールをもつための必要十分条件は何か？
• RQ2 このようなトランスファーモジュールの存在が、特にグローバル次元が有界であると仮定しない場合に、代数の支配的次元とどのように関係するか？
• RQ3 どの代数が、射影的・インジェクティブな部分代数によって生成され、コ生成されるトランスファーモジュールかつコトランスファーモジュールをもつのか？
• RQ4 このようなトランスファーモジュールの自己準同型代数の構造は何か？ そのグローバル次元は Finitistic Dimension 猜想とどのように関係するか？
• RQ5 ナカヤマ代数が支配的次元 2 以上をもつための Kupisch 系列または許容可能な系列に関する明確な条件は何か？

主な発見

• トランスファーモジュールが $\mathcal{C}_\Lambda$ 内に存在することは、グローバル次元に依存せず、$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ と同値である。
• $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ のとき、トランスファーモジュール $T\mathcal{C}$ は $\widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$ に同型であり、ここで $P_i$ は不分解射影的で非インジェクティブなモジュールを走る。
• トランスファーモジュールかつコトランスファーモジュールを $\mathcal{C}_\Lambda$ 内にもつ代数は、ちょうど 1-Auslander-Gorenstein 代数である。
• ナカヤマ代数においては、$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ であることと、$\mathcal{P}_c \subseteq \{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$ が同値である。ここで $\mathcal{P}_c$ および $\mathcal{Q}_c$ は Kupisch 系列を用いて定義される。
• 巡回的ナカヤマ代数の場合、$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ であることと、射影的モジュールの集合 $\mathcal{P}_c$ が集合 $\{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$ に含まれることと同値である。
• 線形ナカヤマ代数の場合、同じ包含条件が支配的次元 2 以上を特徴づけ、トランスファーモジュール $T_\mathcal{C}$ は、指定されたソコルと長さをもつ射影的モジュールおよびユニシリアルモジュールの直和として明示的に記述される。