[論文レビュー] Dominating Points of Gaussian Extremes

Harsha Honnappa, Raghu Pasupathy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Probability and Risk Models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℝᵈ内に閉じた凸集合 𝒞 における i.i.d. のゼロ平均ガウス確率ベクトルの成分ごとの最大値について、制限付き大偏差原理（rLDP）を確立する。尾確率の減衰率は、凸集合 𝒞 の境界上に存在する一意の支配点 𝑥∗ によって決定され、その減衰率は 𝑥∗ の簡単な二次関数として与えられる。この結果により、重要度サンプリングを用いたレアイベントシミュレーションが効率的に行える。

ABSTRACT

We quantify the large deviations of Gaussian extreme value statistics on closed convex sets in d-dimensional Euclidean space. The asymptotics imply that the extreme value distribution exhibits a rate function that is a simple quadratic function of a unique "dominating point" located on the boundary of the convex set. Furthermore, the dominating point is identified as the optimizer of a certain convex quadratic programming problem, indicating a "collusion" between the dependence structure of the Gaussian random vectors and the geometry of the convex set in determining the asymptotics. We specialize our main result to polyhedral sets which appear frequently in other contexts involving logarithmic asymptotics. We also extend the main result to characterize the large deviations of Gaussian-mixture extreme value statistics on general convex sets. Our results have implications to contexts arising in rare-event probability estimation and stochastic optimization, since the nature of the dominating point and the rate function suggest importance sampling measures.

研究の動機と目的

• スケーリングされた成分ごとの最大値 𝐀ₙ⁻¹𝑀ₙ が特異な凸集合 𝒞 に属する確率の漸近的減衰率を特定すること。
• 大偏差行動を支配する、凸集合 𝒞 の境界上に存在する一意の支配点 𝑥∗ を同定すること。
• 凸二次計画問題から導かれる二次レート関数を持つ制限付き大偏差原理（rLDP）を確立すること。
• 一般の凸集合におけるガウス混合極値統計に rLDP を拡張すること。
• レアイベントシミュレーションおよび確率的最適化における効率的な重要度サンプリング測度の設計の基盤を提供すること。

提案手法

• 𝑛 → ∞ の際に 𝔼[𝕀(𝐀ₙ⁻¹𝑀ₙ ∈ 𝒞)] の対数漸近的挙動を解析することにより、スケーリングされた最大値 𝐀ₙ⁻¹𝑀ₙ に対する rLDP を導出する。
• 支配点 𝑥∗ を、逆共分散行列と凸集合 𝒞 の幾何構造を含む凸二次計画問題の最小化解として特定する。
• 混合モデルの解析に「最大項の原理」を適用し、尾確率における支配的成分に注目する。
• 大偏差理論とガウス尾確率の対数漸近的挙動を用いて、レート関数を導出する。
• 個々の成分に対する rLDP を活用し、最大項の原理を用いてガウス混合の rLDP を確立する。
• 速度関数 𝑣(‖𝐀ₙ‖) = ‖𝐀ₙ‖² を導入し、正規化された対数確率の極限が −𝐽(𝑥∗) に収束することを示す。ここで 𝐽(𝑥∗) は支配点 𝑥∗ の二次関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリングされた成分ごとの最大値 𝐀ₙ⁻¹𝑀ₙ が内部を有する閉凸集合 𝒞 に属する確率の漸近的減衰率は何か？
• RQ2 ガウスベクトルの依存構造と集合 𝒞 の幾何構造を考慮した場合、支配点 𝑥∗ はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 rLDP を一般の凸集合におけるガウス混合極値統計に拡張できるか？
• RQ4 支配点 𝑥∗ は、レアイベント推定における効率的な重要度サンプリング測度の設計にどのように寄与するか？
• RQ5 凸二次計画問題が、ガウス極値の大偏差のレート関数を決定づける役割を果たすのはどのような仕組みか？

主な発見

• 𝔼[𝕀(𝐀ₙ⁻¹𝑀ₙ ∈ 𝒞)] の漸近的減衰率は、二次レート関数 𝐽(𝑥∗) = ½⟨𝑥∗, 𝐀⁻¹Σ⁻¹𝐀𝑥∗⟩ によって支配され、ここで 𝑥∗ は 𝒞 の境界上の一意の支配点である。
• 支配点 𝑥∗ は、凸二次計画問題 min_{𝑥∈∂𝒞} ½⟨(𝑥−0), 𝐀⁻¹Σ⁻¹𝐀(𝑥−0)⟩ の最小化解として与えられ、ガウスの依存構造と凸集合の幾何構造の相互作用を反映している。
• 多面体凸集合の場合、rLDP は有限次元最適化問題に簡略化され、レート関数の明示的計算が可能になる。
• ガウス混合極値の rLDP は、最大項の原理を用いて導出され、レート関数は各成分の二次形式 ⟨(𝑥−𝜇ⱼ), Σⱼ⁻¹(𝑥−𝜇ⱼ)⟩ の下界の最小値として与えられる。
• ガウス混合の場合のレート関数は 𝐽(𝒞) = ½ − ½ ∧_{𝑗=1}^{𝐾} inf_{𝑥∈𝒞} ⟨(𝑥−𝜇ⱼ), 𝐀⁻¹Σⱼ⁻¹𝐀(𝑥−𝜇ⱼ)⟩ であり、速度関数は 𝑣(𝑎) = 𝑎² である。
• これらの結果は、支配点 𝑥∗ に中心を置く重要度サンプリング分布のモードを持つ最適な重要度サンプリング測度の構築の理論的基盤を提供する。