[論文レビュー] Domination number of middle graphs

Farshad Kazemnejad, Behnaz Pahlavsay+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中間グラフの支配数について検討し、元のグラフの位数に基づいたタイトな上限と下限を確立するとともに、星形、サイクル、ホイール、フレンドシップグラフなどの主要なグラフ族について正確な値を計算している。また、グラフとその補グラフの中間グラフの支配数の和および積に関する鋭いノードス＝ガッダム型不等式も導出している。

ABSTRACT

In this paper, we study the domination number of middle graphs. Indeed, we obtain tight bounds for this number in terms of the order of the graph. We also compute the domination number of some families of graphs such as star graphs, double start graphs, path graphs, cycle graphs, wheel graphs, complete graphs, complete bipartite graphs and friendship graphs, explicitly. Moreover, some Nordhaus-Gaddum-like relations are presented for the domination number of middle graphs.

研究の動機と目的

• 元のグラフの位数に基づいて、中間グラフの支配数のタイトな上限および下限を特定すること。
• 星形、ダブルスターブ、パス、サイクル、ホイール、完全グラフ、完全二部グラフ、フレンドシップグラフなどの特定のグラフ族について、正確な支配数を計算すること。
• 中間グラフとその補グラフの支配数に関するノードス＝ガッダム型関係を確立すること。
• 中間グラフの支配数を、元のグラフの辺被覆数といった他のグラフ不変量と関連付けること。

提案手法

• 補題2.1を活用して、M(G)における任意の支配集合をE(G)に完全に含まれるものに変換できることを示し、解析を単純化する。
• 補題2.2を適用して、頂点の削除に基づくγ(M(G))の再帰的境界を導出し、γ(M(G\v))とγ(M(G))を関連付ける。
• 定理2.7を用いて、孤立頂点を含まないn次のグラフに対してγ(M(G)) ≥ ⌈n/2⌉という下界を確立する。
• 特定のグラフ族に対して構造的解析とケースバイケースの計算を用いて、γ(M(G))の正確な値を導出する。
• 線グラフおよび部分グラフの支配数に関する既知の結果を応用し、M(G)の境界を導出する。
• GおよびḠの両方が孤立頂点を含まないと仮定して、γ(M(G))およびγ(M(Ḡ))の境界を組み合わせることで、ノードス＝ガッダム型不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gの位数nに基づいて、中間グラフM(G)の支配数のタイトな上限および下限は何か？
• RQ2 星形、サイクル、ホイール、フレンドシップグラフなどの基本的グラフ族に対して、支配数γ(M(G))の正確な値は何か？
• RQ3 M(G)およびM(Ḡ)の支配数どうしの関係は何か？ それらの和および積に関する最良の境界は何か？
• RQ4 中間グラフM(G)の支配数を、Gの辺被覆数といった他のグラフ不変量と関連付けることができるか？

主な発見

• 任意の孤立頂点を含まないn ≥ 2次のグラフGに対して、中間グラフM(G)の支配数は⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) ≤ n−2 を満たす。
• 星形グラフK₁,nに対して、その中間グラフの支配数は正確にnである。すなわち、γ(M(K₁,n)) = n。
• 完全グラフKₙに対して、その中間グラフの支配数はγ(M(Kₙ)) = ⌈n/2⌉ である。
• n₁ ≤ n₂を満たす完全二部グラフKₙ₁,ₙ₂に対して、その中間グラフの支配数は正確にn₂である。すなわち、γ(M(Kₙ₁,ₙ₂)) = n₂。
• フレンドシップグラフFₙに対して、その中間グラフの支配数はn+1である。すなわち、γ(M(Fₙ)) = n+1。
• M(G)およびM(Ḡ)に関するノードス＝ガッダム型不等式は鋭い：2⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) + γ(M(Ḡ)) ≤ 2(n−2) および (⌈n/2⌉)² ≤ γ(M(G))·γ(M(Ḡ)) ≤ (n−2)² であり、C₄および他のグラフで等号が達成可能である。