[論文レビュー] Domination Parameters of the Unitary Cayley Graph of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Amanda Burcroff|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℤ/n\mathbb{Z}$ 上のユニタリ・カイリー・グラフ $X_n$ における支配パラメータを調査し、全支配、非冗長性、独立性の数を焦点とする。$g(n)$ をヤコブスティーア関数とするとき、任意に多くの素因数を持つ無限個の整数 $n$ の族を構成し、$γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$ が成り立つことを示した。これにより、Defant と Iyer が提起した2つの未解決問題に肯定的に答えを提示した。

ABSTRACT

The unitary Cayley graph of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, denoted $X_n$, is the graph on $\{0,\dots,n-1\}$ where vertices $a$ and $b$ are adjacent if and only if $\gcd(a-b,n) = 1$. We answer a question of Defant and Iyer by constructing a family of infinitely many integers $n$ such that $γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$, where $γ_t$ denotes the total domination number and $g$ denotes the Jacobsthal function. We determine the irredundance number, domination number, and lower independence number of certain direct products of complete graphs and give bounds for these parameters for any direct product of complete graphs. We provide upper bounds on the size of irredundant sets in direct products of balanced, complete multipartite graphs which are asymptotically correct for the unitary Cayley graphs of integers with a bounded smallest prime factor.

研究の動機と目的

• 整数 $n$ に対して $γ_t(X_n) \leq g(n)-2$ および $\gamma(X_n) \leq g(n)-2$ が成り立つようなものの存在に関する未解決問題を解決すること。
• 完全グラフの直積における支配パラメータ（非冗長性、支配、下位独立性）の数を特定すること。
• $X_n$ の構造をバランスの取れた完全マルチパーティーショングラフの積として分析することで、$X_n$ に関する結果を拡張すること。
• 高階の積における支配パラメータが成分グラフのサイズにどのように依存するかを調査すること。
• バランスの取れた完全マルチパーティーショングラフの積に対して $\operatorname{IR}(G) = \alpha(G)$ が成り立つと予想し、既知の結果を一般化すること。

提案手法

• $n$ の素因数分解に基づく中国剰余定理を用いた同型 $X_n \cong \prod_{i=1}^t K[p_i^{\alpha_i-1}, p_i]$ を用いる。
• 組合せ的議論と鳩の巣原理を用いて、完全マルチパーティーショングラフの直積における非冗長集合のサイズを評価する。
• $X_n$ にサイズ $g(n)-2$ の支配サイクルを構成することで、$\gamma_t(X_n)$ の上界を確立する。
• 私的近傍とベクトル射影を分析し、仮定された非冗長集合のサイズに矛盾を導く。
• 既知の結果（gcd-グラフや固有値の整数性）を活用し、より広いグラフ族への拡張を示唆する。
• Defant と Iyer が用いた技術を応用し、バランスの取れた完全マルチパーティーショングラフの積における上位非冗長性および上位支配数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$ を満たす整数 $n$ が無限に存在するか。
• RQ2 このような整数 $n$ が任意に多くの異なる素因数を持つことができるか。
• RQ3 $γ_t(X_n) \leq g(n) - 3$ を満たすような単一の整数 $n$ が存在するか。
• RQ4 平方因子を持たない $n$ に対して、$γ_t(X_n) \leq g(n) - 3$ が成り立つのはいつか。
• RQ5 $\prod_{i=1}^t K_{n_i}$ の支配パラメータがすべての $n_i$ に依存するのはいつか。

主な発見

• 本稿は、任意に多くの異なる素因数を持つ無限個の整数 $n$ の族を構成し、$γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$ が成り立つことを示した。これにより、Defant と Iyer が提起した2つの問題に肯定的に答えを提示した。
• 本稿は、$\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 2$ が無限個の $n$ に対して成り立つことを証明した。$X_n$ にはサイズ $g(n)-2$ の支配サイクルが存在し、これは全支配集合である。
• 完全グラフの直積に対して、因子が3つ以下の場合の非冗長性、支配、下位独立性の数を特定した。
• $n$ が素数、$n = 2p$、$n = 3p$（$p$ を素数とする）、または素因数がちょうど3つで平方因子を持たない場合、$γ_t(X_n) \leq g(n) - 3$ が成り立つ。
• $K_a \times K_b \times K_c$ の支配数は $a$、$b$、$c$ に依存しないが、4因子の場合にはすべてのサイズに依存する。
• 本稿は、任意の積 $G = \prod_{i=1}^t K[a_i, b_i]$ に対して $\operatorname{IR}(G) = \alpha(G)$ が成り立つと予想し、強完全グラフに関する既知の結果を一般化した。