[論文レビュー] Domination Problems in Nowhere-Dense Classes of Graphs

Anuj Dawar, Stephan Kreutzer|ArXiv.org|Jul 24, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、距離-d支配集合問題および関連する支配問題が、どこでも至るグラフクラスにおいて固定パラメータ可 tractable (FPT) であることを確立している。著者たちは、深い構造定理に依存せずに、このようなクラスの均一準広さ性質を用いてこの結果を証明し、H-マイナー自由、有界拡張、局所的に除外されたマイナークラスに関する先行結果を一般化している。

ABSTRACT

We investigate the parameterized complexity of generalisations and variations of the dominating set problem on classes of graphs that are nowhere dense. In particular, we show that the distance-d dominating-set problem, also known as the (k,d)-centres problem, is fixed-parameter tractable on any class that is nowhere dense and closed under induced subgraphs. This generalises known results about the dominating set problem on H-minor free classes, classes with locally excluded minors and classes of graphs of bounded expansion. A key feature of our proof is that it is based simply on the fact that these graph classes are uniformly quasi-wide, and does not rely on a structural decomposition. Our result also establishes that the distance-d dominating-set problem is FPT on classes of bounded expansion, answering a question of Ne{\v s}et{ř}il and Ossona de Mendez.

研究の動機と目的

• スパarsなグラフクラスにおける支配問題の固定パラメータ可 tractability を調査すること。
• H-マイナー自由および有界拡張グラフにおける既知のFPT結果を、より広いクラスであるどこでも至るグラフにまで拡張すること。
• 均一準広さ—組合せ的性質—が支配問題のFPT可 tractability を保証するのに十分であることを示すこと。
• NešetřilとOssona de Mendezによる、有界拡張クラスにおける距離-d 支配集合問題のFPT状態に関する未解決問題を解消すること。
• 複雑なグラフ構造理論を避ける、より単純な組合せ的証明フレームワークを提供すること。

提案手法

• どこでも至るグラフクラスの均一準広さ性質を、中心的な構造的仮定として用いる。
• G\S に大きな2-散らばった集合を含むような小さな頂点集合Sを同定する再帰的アルゴリズム的手順を用いる。
• ローマン支配における非ゼロ値が割り当てられる頂点数を制限するために、これを応用し、パrameterized再帰を可能にする。
• ある有界サイズの集合Sが、臨界な頂点（例えばローマン支配におけるラベル2の頂点）を含む必要があるような支配問題に還元し、有界深さの再帰を可能にする。
• 定義可能な集合と再帰的分解を用いることで、一階論理とモデルチェックの原理を暗黙的に応用する。
• 複数の支配変種に対して、それらがすべて小さな集合に関する類似した構造的制約に還元されることを示すことにより、アプローチを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離-d 支配集合問題は、どこでも至るグラフクラスにおいて固定パラメータ可 tractable か？
• RQ2 有界拡張およびH-マイナー自由グラフにおける支配問題のFPT状態を、単一でより単純なフレームワークに統合できるか？
• RQ3 均一準広さ性質だけが、支配問題のFPT可 tractability を保証するのに十分か？より深い構造的分解を必要としないか？
• RQ4 有界拡張クラスにおける距離-d 支配集合問題のFPT状態に関する未解決問題を肯定的に解消できるか？
• RQ5 一階論理モデルチェックのアルゴリズム的可 tractability は、どこでも至るクラスにおいてどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 距離-d 支配集合問題は、すべてのどこでも至るグラフクラスにおいてFPTである。これは、H-マイナー自由、有界拡張、局所的に除外されたマイナークラスに関する既存結果を一般化する。
• 証明は、均一準広さ性質にのみ依存しており、複雑なマイナー理論に依存せず、先行手法を単純化している。
• この結果は、NešetřilとOssona de Mendezによる、有界拡張クラスにおける距離-d 支配集合問題のFPT状態に関する未解決問題を解消している。
• ローマン支配、連結支配集合、効率的支配集合を含む、多数の支配問題がどこでも至るクラスにおいてFPTであることが示された。
• このアプローチは、複数の支配変種に一貫して適用可能な透明で組合せ的なフレームワークを提供する。
• 有向互いに素なパス問題は、4次元グラフ（どこでも至る）に対してもW[1]-hardのままであるため、このクラスにおいてすべての問題が可 tractable であるとは限らない。