[論文レビュー] Domination subdivision and domination multisubdivision numbers of graphs

Magda Dettlaff, Joanna Raczek+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、支配被分離数（sd(G)）の改良版として、支配被分離多重数（msd(G)）を導入し、すべてのグラフに対して msd(G) ≤ 3 が成り立ち、木に対しては msd(G) = sd(G) が成り立つことを証明している。支配被分離決定問題が二部グラフに対してもNP完全であることを示し、補助頂点と路の延長という構造的操作を用いて、msd(T) = 1 および msd(T) = 3 を満たす木を特徴づけている。

ABSTRACT

The \emph{domination subdivision number} sd$(G)$ of a graph $G$ is the minimum number of edges that must be subdivided (where an edge can be subdivided at most once) in order to increase the domination number of $G$. It has been shown \cite{vel} that sd$(T)\leq 3$ for any tree $T$. We prove that the decision problem of the domination subdivision number is NP-complete even for bipartite graphs. For this reason we define the \emph{domination multisubdivision number} of a nonempty graph $G$ as a minimum positive integer $k$ such that there exists an edge which must be subdivided $k$ times to increase the domination number of $G$. We show that msd$(G)\leq 3$ for any graph $G$. The domination subdivision number and the domination multisubdivision numer of a graph are incomparable in general case, but we show that for trees these two parameters are equal. We also determine domination multisubdivision number for some classes of graphs.

研究の動機と目的

• 支配被分離数問題の計算的非効率性に対処するために、支配被分離多重数（msd(G)）という新しいパラメータを導入すること。
• 支配被分離決定問題が、二部グラフに制限されてもNP完全であることを証明すること。
• すべての辺を少なくとも1本持つ連結グラフ G に対して、msd(G) ≤ 3 が成り立つことを示すこと。
• 構造的グラフ操作を用いて、msd(T) = 1 および msd(T) = 3 を満たす木を特徴づけること。
• 木において msd(T) = sd(T) が成り立つことを示し、2つのパラメータの関係を解明すること。

提案手法

• 支配被分離多重数 msd(G) を、ある辺を k 回被分離することで支配数が増加する最小の k として定義する。
• 3-SAT 問題からの多項式時間還元を構築し、支配被分離決定問題のNP完全性を証明する。
• 単一の頂点から開始し、2つの操作 T1 および T2 を用いて生成される木の族 F を導入し、msd(T) = 3 を満たす木を特徴づける。
• 路と補助頂点の構造的解析を用いて、msd(T) = 3 を満たす木は必ず族 F に属することを証明する。
• 頂点数に関する帰納法を用いて、msd(T) = 3 を満たす木が T1 および T2 の操作によって生成されることを示す。
• プライベート近傍および支配集合の性質を活用し、高重複度を持つ辺の被分離が支配数を保存または増加させることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配被分離数決定問題は、二部グラフに対してもNP完全であるか？
• RQ2 すべてのグラフにおいて、支配被分離多重数の最大値は何か？
• RQ3 どの木について msd(T) = 1 が成り立ち、その構造的条件は何か？
• RQ4 木において、支配被分離多重数と支配被分離数の関係は何か？
• RQ5 すべての msd(T) = 3 を満たす木は、有限個のグラフ操作によって特徴づけられるか？

主な発見

• 支配被分離数決定問題は、二部グラフに制限されてもNP完全である。
• すべての辺を少なくとも1本持つ連結グラフ G に対して、支配被分離多重数 msd(G) は 3 以下である。
• 任意の木 T に対して、支配被分離多重数 msd(T) は支配被分離数 sd(T) に等しい。
• msd(T) = 1 を満たす木は、最小支配集合に属さない葉が存在する、またはすべての最小支配集合から外れるような端点を持つ辺が存在する、という条件で特徴づけられる。
• msd(T) = 3 を満たす木は、長さ 2 の路から開始し、操作 T1 および T2 を用いて生成される木に限る。
• msd(T) = 3 を満たす木の族 F は、操作 T1 および T2 に関して閉じており、すべてのこのような木がこれらの操作によって生成される。