[論文レビュー] Don't stay local - extrapolation analytics for Dupire's local volatility

Peter K. Friz, Stefan Gerhold|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、鞍点法とモーメント母関数を用いて、極端なストライク領域におけるローカル・ボラティリティの近似のための新しい解析的公式を提示する。ヘストン・モデルにおけるデュピルのローカル・ボラティリティの明示的漸近式を導出し、$k \to \infty$ のとき $σ_{\text{loc}}^2(k,T)/k$ がモデルのパラメータを含む閉形式の式に収束することを示し、観測された市場のストライクを越えての頑健な外挿を可能にする。

ABSTRACT

A robust implementation of a Dupire type local volatility model is an important issue for every option trading floor. Typically, this (inverse) problem is solved in a two step procedure : (i) a smooth parametrization of the implied volatility surface; (ii) computation of the local volatility based on the resulting call price surface. Point (i), and in particular how to extrapolate the implied volatility in extreme strike regimes not seen in the market, has been the subject of numerous articles, starting with Lee (Math. Finance, 2004). In the present paper we give direct analytic insights into the asymptotic behavior of local volatility at extreme strikes.

研究の動機と目的

• 市場データが乏しいまたは存在しない極端なストライク領域におけるローカル・ボラティリティの頑健な外挿の課題に対処すること。
• 大きなまたは小さなストライクにおけるローカル・ボラティリティの漸近的挙動に対する直接的な解析的洞察を提供すること。
• モーメント母関数（mgf）が上側臨界モーメントで発散すると仮定した場合のヘストン・モデルにおけるローカル・ボラティリティの閉形式近似を導出すること。
• 鞍点法が正当化される状況において一般に有効な近似公式 (1.6) を確立すること。
• ヘストン・フレームワークにおけるリカッチ方程式にODE比較技術を適用することで、漸近的近似を厳密に正当化すること。

提案手法

• この手法は、価格測度下でのローカル・ボラティリティ式の鞍点近似に、対数価格のモーメント母関数（mgf）を用いる。
• 主な近似は $\sigma_{\text{loc}}^2(k,T) \approx \left. \frac{2\partial_T m(s,T)}{s(s-1)} \right|_{s=\hat{s}(k,T)}$ で与えられ、ここで $\hat{s}(k,T)$ は $\partial_s m(s,T) = k$ を満たす。
• 解析では、$M(s,T) = \mathbb{E}[\exp(sX_T)]$ が区間 $(s_-, s_+)$ で有限であり、$\lim_{s \uparrow s_+} M(s,T) = \infty$ であると仮定する。これはヘストン・モデルで成立する。
• ヘストン・モデルでは、$R_1$ と $R_2$ をモデルパラメータ $c, \rho, b, s_+$ の関数として明示的に導出し、定理1における漸近的比を導出する。
• 証明では、mgfを記述するリカッチ方程式にODE比較技術を適用し、補助関数 $f(t)$ と $g(t)$ の境界を確立することで、漸近的挙動を制御する。
• 数値的に妥当性を検証し、カーマタのタウーブリアン定理を用いて非ヘストン・モデルへ拡張し、鞍点法が厳密に適用されない場合でも、その頑健性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘストン・モデルにおいて、ストライク価格が無限大に近づくとき、ローカル・ボラティリティはどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 対数価格のモーメント母関数のみを用いて、極端なストライクにおけるローカル・ボラティリティの閉形式近似を導出できるか？
• RQ3 ヘストン・モデルにおいて、ローカル・ボラティリティの成長率は対数ストライクの関数としてどのように変化し、モデルパラメータに依存するか？
• RQ4 鞍点近似 (1.6) はヘストン・モデルを越えてどの程度有効であり、mgfがゆっくり発散する場合でも信頼できるか？
• RQ5 微分方程式解析と比較原理を用いて、ローカル・ボラティリティの漸近的挙動をどのように厳密に正当化できるか？

主な発見

• ヘストン・モデルにおいて $\rho \leq 0$ のとき、$\lim_{k \to \infty} \frac{\sigma_{\text{loc}}^2(k,T)}{k} = \frac{2}{T \, s_+(s_+ - 1) R_1 / R_2}$ が成り立ち、ここで $R_1$ と $R_2$ はモデルパラメータと $s_+$ の明示的関数である。
• 近似式 (1.6) がヘストン・モデルにおいて正確な式と漸近的に同値であることが示され、外挿の厳密な基礎が得られる。
• mgfがゆっくり発散する場合でも、鞍点式 (1.6) は驚くほど高い精度を示すことが数値的に確認され、ギャンマ・バリアンス・モデルでも同様の結果が得られた。
• 著者らは $f(t) \in [-C_{3,T} y^2, -C_{1,T} y]$ および $g(t) \in [-C_{4,T} y^3, C_{2,T} y]$ を確立し、モデルパラメータに依存する明示的定数を示し、これが漸近的挙動の証明に不可欠である。
• 証明は、リカッチ方程式の解をODE比較により境界化することに依拠し、$g(t) \geq 0$ を示し、$f$ と $g$ のタイトな境界を得ることで、漸近的ダイナミクスを制御する。
• この手法は一般性を有し、mgfが良好に振る舞い、かつ鞍点法が適用可能な任意のモデルに適用可能であり、ローカル・ボラティリティモデリングにおける恣意的外挿の代替手段として頑健である。