[論文レビュー] Donaldson-Thomas trasnsformations of moduli spaces of G-local systems

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、装飾付き表面上のPGL_m-局所系のモジュライ空間におけるWeyl群作用および双対性対合が、クラスター・ポワンソ変換として作用することを確立し、これらの空間におけるドナルドソン＝トーマス変換を計算する。ケラーのクラスターDT変換の枠組みと、グロス＝ハンキング＝キール＝コンツェビッチの結果を用いて、モジュライ空間X_PGL_m,SおよびSL_mのフォミン＝ツェレヴィンスキーの上位クラスター代数における正則関数の標準基底を構成し、この設定における双対性予想を確認する。

ABSTRACT

Kontsevich and Soibelman defined Donaldson-Thomas invariants of a 3d Calabi-Yau category equipped with a stability condition. Any cluster variety gives rise to a family of such categories. Their DT invariants are encapsulated in a single formal automorphism of the cluster variety, called the DT-transformation. Let S be an oriented surface with punctures, and a finite number of special points on the boundary considered modulo isotopy. It give rise to a moduli space X(m, S), closely related to the moduli space of PGL(m)-local systems on S, which carries a canonical cluster Poisson variety structure. For each puncture of S, there is a birational Weyl group action on the space X(m, S). We prove that it is given by cluster Poisson transformations. We prove a similar result for the involution * of the space X(m,S) provided by dualising a local system on S. We calculate the DT-transformation of the moduli space X(m,S), with few exceptions. Namely, let C(m,S) be the transformation of the space X(m,S) given by the product of three commuting maps: the involution *, the product, over all punctures of S, of the longest element of the Weyl group action corresponding to the puncture, and the "shift of the special points on the boundary by one" map. Using a characterisation of a class of DT-transformations due to Keller, we prove that C(m,S) = DT. We prove that, burring few exceptions, the Weyl group and the involution * act by cluster transformations of the dual moduli space A(m, S). So the formula C(m,S) = DT is valid for the space A(m,S). Our main result, combined with the work of Gross, Hacking, Keel and Kontsevich, deliver a canonical basis in the space of regular functions on the cluster variety X(m,S), and in the upper cluster algebra with principal coefficients related to the pair (SL(m), S), with few exceptions.

研究の動機と目的

• G-局所系のモジュライ空間におけるWeyl群および双対性対合がクラスター変換として作用する条件を特定すること。
• 装飾付き表面S上のPGL_m-局所系のモジュライ空間X_PGL_m,Sにおけるドナルドソン＝トーマス変換を計算すること。
• フォミン＝ツェレヴィンスキーおよびフォック＝ゴンチャロフの双対性予想が予言するように、X_PGL_m,Sにおける正則関数の環およびSL_mの上位クラスター代数における標準基底の存在を確立すること。
• ラミネーションおよび表面における理想三角形分割を通じて、クラスターDT変換の幾何的実現を提供すること。
• 組合せ的および幾何的手段を用いて、クラスターDT変換の枠組みを局所系のモジュライ空間へと拡張すること。

提案手法

• 穴あきおよび特別な境界点をもつ表面におけるフォックとゴンチャロフが定義した、X_PGL_m,Sにおけるクラスター・ポワンソ構造を用いる。
• 適切な装飾付き表面S（g(S) + μ ≥ 3 または2つの特別点をもつアニュラス）に対して、ケラーによるクラスターDT変換の分類を適用し、適切なSにおけるDT変換を計算する。
• 理想三角形分割およびラミネーションにおける最長Weyl群元w_0の作用を、フラップの繰り返しとフレーミング移動の列を通じて分析する。
• Weyl群作用のトロピカル化およびマッピングクラス群作用を用いて、変換のクラスター性を検証する。
• 局所系における双対性対合∗を用い、双対A空間におけるシューツェンベルガー対合を通じて、それがクラスター変換として作用することを示す。
• GHKKによる標準基底の構成結果と組み合わせることで、X_PGL_m,SおよびSL_mの上位クラスター代数における標準基底の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 装飾付き表面S上のPGL_m-局所系のモジュライ空間X_PGL_m,SにおけるWeyl群作用は、クラスター変換として作用するか？
• RQ2 X_PGL_m,Sにおける双対性対合∗（局所系の双対化によって誘導される）はクラスター変換か？
• RQ3 Sが適切な場合、クラスター・ポワンソ多様体X_PGL_m,Sにおけるドナルドソン＝トーマス変換の明示的形は何か？
• RQ4 Weyl群および双対性作用は、双対A空間A_SL_m,Sにどのように上に上げられ、それらはクラスター変換か？
• RQ5 フォミン＝ツェレヴィンスキーおよびフォック＝ゴンチャロフが予想した標準基底は、クラスターDT変換およびラミネーションを通じて幾何的に構成可能か？

主な発見

• 任意の適切な装飾付き表面Sに対して、X_PGL_m,SにおけるWeyl群作用はクラスター・ポワンソ変換として与えられる。
• X_PGL_m,Sにおける双対性対合∗はクラスター変換として作用し、その作用は双対A空間におけるシューツェンベルガー対合を通じて実現される。
• X_PGL_m,Sのドナルドソン＝トーマス変換は、ケラーのクラスターDT変換の枠組みを用いて明示的に計算された。
• 適切なSに対して、X_PGL_m,Sにおける正則関数の標準基底はGHKK法を用いて構成され、双対性予想が確認された。
• ペair (SL_m, S) における主係数付き上位クラスター代数は、双対性予想が予言するように標準基底をもつ。
• X_PGL_m,SにおけるクラスターDT変換は、ラミネーションおよび理想三角形分割を通じて幾何的に実現され、フラップおよびフレーミング移動による座標変換の明示的検証がなされた。