[論文レビュー] Doob--Meyer for rough paths

Peter K. Friz, Atul Shekhar|arXiv (Cornell University)|May 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、p-rough path に関連するより弱く一般性の高いパスの粗さの概念を導入し、Lyonsの意味におけるrough積分に対して、確率的ではなく決定論的なDoob-Meyer型分解を可能にする。主な貢献は、ある時刻における「真の粗さ」と呼ばれる十分条件を特定し、rough積分が消えるならば被積分関数も消えることを保証することであり、これにより、fBm（H > 1/4）を含む一般のガウス過程によって駆動される非マルコフ型SDEの密度の存在を示す応用が可能になる。

ABSTRACT

Recently, Hairer--Pillai proposed the notion of $θ$-roughness of a path which leads to a deterministic Norris lemma. In the Gubinelli framework (Hoelder, level 2) of rough paths, they were then able to prove a Hoermander type result (SDEs driven by fractional Brownian motion, $H>1/3$). We take a step back and propose a natural "roughness" condition relative to a given $p$-rough path in the sense of Lyons; the aim being a Doob-Meyer result for rough integrals in the sense of Lyons. The interest in our (weaker) condition is that it is immediately verified for large classes of Gaussian processes, also in infinite dimensions. We conclude with an application to non-Markovian system under Hoermander's condition.

研究の動機と目的

• Lyons-Itôの意味におけるrough積分に対して、確率積分や martingale 構造に依存しない決定論的Doob-Meyer型結果を構築すること。
• 一般のガウス過程（無限次元空間を含む）に広く適用可能な、より弱く検証可能なパス粗さの条件を同定すること。
• 従来のHörmander理論におけるサポート型の条件を、非マルコフ型系に対して、経路ごとの粗さ条件に置き換えること。
• 弱いHörmander条件と一般非退化ガウスノイズを伴うrough SDEのドリフト項が存在する場合の密度の存在を確立すること。
• ノリス型補題とHörmander理論の適用範囲を、H > 1/3 に限らない分数ブラウン運動を超えるroughパスへ拡張すること。

提案手法

• 制御関数 ω(s,t)^(2/p) に対する増分の双対作用の発散条件を用いて、時刻 s における「粗さ」の概念を定義する。
• p-rough path が時刻 s で粗さを持つならば、rough積分 ∫_s^t f(X)dX = O(ω(s,t)^(2/p)) ならば f(X_s) = 0 が成り立つことを確立する。
• 駆動信号が真に粗い（稠密な集合で粗さを持つ）系にこの結果を適用し、積分が消えるならば被積分関数も消えることを保証する。
• SDEの結合ダイナミクスに一般化するため、(X,Y,J) のroughパスリフトを用い、ジャコビアン過程に積分分解を適用する。
• Cameron-Martin空間とパス変動の間の補完的Young正則性を仮定することで、Malliavin微積分の枠組みにこの結果を適用する。
• 背理法を用いる：非ゼロベクトル z がすべての反復ジャコビアンを消滅させるならば、積分は消えるが、これは z=0 でない限り矛盾するため、非退化性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的可積分性や martingale 構造に依存せずに、rough積分に対して決定論的Doob-Meyer分解を確立できるか？
• RQ2 弱い経路的粗さ条件が、rough積分が消えるならば被積分関数も消えることを保証するのに十分か？
• RQ3 一般のガウス過程（無限次元ヒルベルト空間上を含む）に対して、この粗さ条件を検証可能か？
• RQ4 このアプローチにより、fBm（H > 1/4）を含むガウスノイズによって駆動される非マルコフ型SDEに対して、Hörmander型の密度結果を拡張できるか？
• RQ5 従来の非マルコフ型Hörmander理論におけるサポート型仮定を、経路的粗さ条件に置き換えられるか？

主な発見

• パスが時刻 s で「粗さを持つ」とは、ある非ゼロ汎函数 v* ∈ V* に対して、|⟨v*, X_{s,t}⟩| / ω(s,t)^(2/p) が t↓s のとき発散することを意味する。
• X が時刻 s で粗さを持つならば、∫_s^t f(X)dX = O(ω(s,t)^(2/p)) ならば f(X_s) = 0 が成り立ち、決定論的Doob-Meyer型結果が確立される。
• 真に粗いパス（稠密な集合で粗さを持つ）に対しては、∫_0^· f(X)dX ≡ 0 ならば、[0,T] 上で f(X_·) ≡ 0 が成り立つ。
• ドリフト項を含む系に対してもこの結果が拡張可能であり、∫ f(X)dX + ∫ g(X)dt ≡ 0 ならば、同じ粗さ条件のもとで f(X_·) ≡ g(X_·) ≡ 0 が成り立つ。
• 弱いHörmander条件と一般非退化ガウスノイズ（fBm（H > 1/4）を含む）を伴うrough SDEに対して、密度の存在が証明される。
• 真の粗さ条件は [2] におけるサポート型条件を置き換え、非マルコフ型系（ヒルベルト空間上のQ-Wiener過程を含む）を統一的に取り扱える。