[論文レビュー] Double affine Hecke algebras of rank 1 and affine cubic surfaces

Alexei Oblomkov|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ランク1の五パラメータ双有理ヘッケ代数（DAHA）の中心とアフィン三次曲面の間の幾何的対応を確立し、中心が射影三次曲面から滑らかな点のなす三角形を除いたアフィン三次曲面の座標環に同型であることを示している。主な結果として、この曲面は量子トーラス上の $ℤ_2$-作用の不変式のポアソン代数の普遍変形であることが示され、Hochschildコホロジー $HH^2(H)$ が5次元であるため、パラメータの変化以外の変形は存在しないことが示される。

ABSTRACT

We study the algebraic properties of the five-parameter family $H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$ of double affine Hecke algebras of type $C^\vee C_1$. This family generalizes Cherednik's double affine Hecke algebras of rank 1. It was introduced by Sahi and studied by Noumi and Stokman as an algebraic structure which controls Askey-Wilson polynomials. We show that if $q=1$, then the spectrum of the center of $H$ is an affine cubic surface $C$, obtained from a projective one by removing a triangle consisting of smooth points. Moreover, any such surface is obtained as the spectrum of the center of $H$ for some values of parameters. This result allows one to give a simple geometric description of the action of an extension of $PGL_2(\Bbb Z)$ by $\Bbb Z$ on the center of $H$. When $C$ is smooth, it admits a unique algebraic symplectic structure, and the spherical subalgebra $eHe$ of the algebra $H$ for $q=e^\hbar$ provides its deformation quantization. Using that $H^2(C,\Bbb C)=\Bbb C^5$, we find that the Hochschild cohomology $HH^2(H)$ (for $q=e^\hbar$) is 5-dimensional for generic parameter values. From this we deduce that the only deformations of $H$ come from variations of parameters. This explains from the point of view of noncommutative geometry why one cannot add more parameters into the theory of Askey-Wilson polynomials. We also prove that the five-parameter family $H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$ of algebras yields the universal deformation of $q$-Weyl algebra crossed with ${\Bbb Z}_2$ and the family of cubic surfaces $C=C_{\underline{t}}$, $\underline{t}\in \CC^4_{\underline{t}}$ gives the universal deformation of the Poisson algebra $\CC[X^{\pm 1},P^{\pm 1}]^{{\Bbb ZZ}_2}$.

研究の動機と目的

• 五パラメータ双有理ヘッケ代数 $H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$ の型 $C^\vee C_1$ の代数的構造を理解すること。
• パラメータ $q=1$ のときの中心 $Z(H)$ の幾何的性質、特に三次曲面との関係を特定すること。
• パラメータ $q=1$ のとき、中心 $Z(H)$ がアフィン三次曲面 $C$ の座標環に同型であり、すべてのこのような曲面がこの方法で得られることを確立すること。
• $q=e^\hbar$ のとき、球面的部分代数 $eHe$ が $C$ 上のシンプレクティック構造の変形量子化を提供することを示すこと。
• Hochschildコホロジーを用いて、$H$ の変形はすべてパラメータの変化から生じることを証明すること。

提案手法

• 代数 $H$ は生成元と関係式により定義され、パラメータ $t_1,t_2,t_3,t_4$ と変形パラメータ $q$ を持つ。CherednikのDAHAを一般化している。
• 中心 $Z(H)$ が、係数 $p_i$ が $t_j$ の正則関数である立方関係 $R(X_1,X_2,X_3)=0$ を満たす3つの元 $X_1,X_2,X_3$ により生成されることを示した。
• 中心のスペクトル $C=\mathrm{Spec}(Z(H))$ の射影的完備化 $\bar{C}$ は、無限遠に位置する3本の直線（滑らかな点のなす三角形）を除いた $C$ と異なることを示した。
• Lusztig-Demazure型表現により、$H$ を量子トーラスと $\mathbb{Z}_2$ の半直積の局所化に埋め込むことができ、$q=1$ のときSatake同型を証明できる。
• $\widetilde{PGL(2,\mathbb{Z})}$ の $H$ への作用を解析し、$q=1$ のとき核 $K=\mathrm{Ker}\,\xi_1$ が $Z(H)$ に自己同型として作用することを示した。
• 変形量子化は、$q=e^\hbar$ のとき球面的部分代数 $eHe$ を用いて確立され、滑らかな $C$ 上のシンプレクティック構造を量子化する。Hochschildコホロジー $HH^2(H)$ は5次元であることが計算された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $q=1$ のとき、五パラメータDAHA $H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$ の中心の幾何的構造は何か？
• RQ2 射影三次曲面から滑らかな点のなす三角形を除いた任意のアフィン三次曲面が、このようなDAHAの中心のスペクトルとして現れるか？
• RQ3 $q=1$ のとき、$\widetilde{PGL(2,\mathbb{Z})}$ の $H$ への作用が中心 $Z(H)$ にどのように引き継がれ、幾何的解釈は何か？
• RQ4 $q=e^\hbar$ のとき、球面的部分代数 $eHe$ はポアソン代数 $\mathbb{C}[X^{\pm1},P^{\pm1}]^{\mathbb{Z}_2}$ の変形量子化であるか？ そのHochschildコホロジーの次元は？
• RQ5 $t_1,t_2,t_3,t_4,q$ のパラメータ変化以外に、$H$ の変形は存在するか？

主な発見

• DAHA $H(t_1,t_2,t_3,t_4;q)$ の中心 $Z(H)$ は、アフィン三次曲面 $C$ の座標環に同型であり、$C$ は射影三次曲面 $\bar{C}$ から無限遠に位置する3本の直線（滑らかな点のなす三角形）を除いたものである。
• 滑らかな射影三次曲面からこのような三角形を除いて得られる任意のアフィン三次曲面 $C$ は、あるパラメータ $t_1,t_2,t_3,t_4$ の選び方によって $\mathrm{Spec}(Z(H))$ として実現可能であり、これは普遍的な幾何的実現を確立する。
• $q=1$ のとき、中心 $Z(H)$ には自然なポアソン構造が誘導され、$C$ が滑らかであれば、この構造はシンプレクティックであり、スカラー倍を除いて唯一の非自明な2次形式 $\omega$ を持つ。
• $q=e^\hbar$ のとき、球面的部分代数 $eHe$ は $C$ の変形量子化を提供し、$C$ を $H$ の古典的極限として実現する。
• 一般パラメータに対してHochschildコホロジー $HH^2(H)$ は5次元であり、これは $H$ の変形がすべてパラメータ $t_1,t_2,t_3,t_4,q$ の変化から生じるのみであり、追加の変形は存在しないことを示唆する。
• 曲面族 $C_{\underline{t}}$ はポアソン代数 $\mathbb{C}[X^{\pm1},P^{\pm1}]^{\mathbb{Z}_2}$ の普遍変形を提供し、$H$ は半直積 $\mathbb{C}_q[X^{\pm1},P^{\pm1}]\rtimes\mathbb{Z}_2$ の普遍変形である。