[論文レビュー] Double categories and quantum groupoids

Nicolás Andruskiewitsch, Sonia Natale|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、二重カテゴリー論を用いて、群oidsの一致対から弱ホップ代数（量子群oids）を構成する。空の二重群oids（各ボックスが隣接する任意の辺のペアによって決定される）は、群oids代数および余代数構造を備えることで、量子群oidsを生じさせ、カックの構成を一般化し、カック型の完全系列を通じてコhomologicalデータと結びつける。

ABSTRACT

We give the construction of a class of weak Hopf algebras (or quantum groupoids) associated to a matched pair of groupoids and certain cocycle data. This generalizes a now well-known construction for Hopf algebras, first studied by G. I. Kac in the sixties. Our approach is based on the notion of double groupoids, as introduced by Ehresmann.

研究の動機と目的

• G. I. カックの群の一致対からホップ代数を構成する手法を、二重群oids構造を用いて弱ホップ代数（量子群oids）へ一般化すること。
• 合成法則に十分な条件を導入することで、弱ホップ代数を生じさせる二重群oidsの正確なクラスを同定すること。
• 二重複体と全複体を用いたコhomological枠組みを確立し、量子群oidsの拡張および自己同型を記述すること。
• 標準的基底の二重カテゴリカル解釈を提供し、構成を視覚的および代数的に統一すること。
• 量子群oidsから生じるテンソル圏を分類する基盤を、OpextおよびAut群の分析を通じて築くこと。

提案手法

• ボックス（射）の合成を、群oids作用から導かれる水平および垂直構造を備えた二重カテゴリーをフレームワークとして用いる。
• 二重群oidsを、小さな圏の圏における圏的対象として定義し、水平および垂直の合成が可逆であることを要請する。
• 各ボックスが隣接する任意の辺のペアによって一意に決定される「空の」二重群oidsの概念を導入し、弱ホップ代数構造と整合性を保つ。
• 垂直および水平の群oidsのコホモロジーから二重複体を構成し、微分 $ d_H $ および $ d_V $ を持ち、全複体 $ \operatorname{Tot}A^{\cdot\cdot} $ を形成する。
• 符号のトリックを適用して、全複体を $ (-1)^s d_V^{r,s} $ で定義し、コホモロジーにおける長完全系列の構成を可能にする。
• 短完全系列の二重複体 $ 0 \to A^{\cdot\cdot} \to D^{\cdot\cdot} \to E^{\cdot\cdot} \to 0 $ を分析することで、コホモロジーにおけるカック型完全系列を導出し、$ H^n({\mathcal{D}}, \Bbbk^\times) $ を含む主要な完全系列を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの二重群oidsが、群oids代数および余代数構造を備えることで弱ホップ代数を生じさせるか？
• RQ2 二重群oidsの全複体のコホモロジーは、対角群oidsおよびその部分群のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 空の二重群oids条件が弱ホップ代数公理を満たすために果たす役割は何か？
• RQ4 二重カテゴリー論を用いて、カック完全系列を量子群oidsの文脈にどのように一般化できるか？
• RQ5 OpextおよびAut群の意義は、量子群oidsの拡張および対称性を分類するために何を意味するか？

主な発見

• 各ボックスが隣接する任意の辺のペアによって一意に決定される空の二重群oidsは、一致対の群oidsと同値であり、弱ホップ代数を構成するための十分条件を提供する。
• この構成により、ボックスの張るベクトル空間に弱ホップ代数構造が得られ、乗法は垂直群oids、余乗法は水平群oidsから来る。
• コホモロジーにおける長完全系列が確立される：$ 0 \to H^1({\mathcal{D}}, \Bbbk^\times) \to H^1({\mathcal{H}}, \Bbbk^\times) \oplus H^1({\mathcal{V}}, \Bbbk^\times) \to \operatorname{Aut}(\Bbbk{\mathcal{T}}) \to \cdots $、これはカックの系列を一般化する。
• 全複体 $ \operatorname{Tot}A^{\cdot\cdot}({\mathcal{T}}, \Bbbk^\times) $ のコホモロジーは $ H^n({\mathcal{D}}, \Bbbk^\times) $ に同型であり、二重複体と対角群oidsのコホモロジーを結びつける。
• $ \operatorname{Opext}(\Bbbk{\mathcal{V}}, \Bbbk{\mathcal{H}}) $ および $ \operatorname{Aut}(\Bbbk{\mathcal{T}}) $ の群は、量子群oidsの拡張および自己同型を分類するものとして解釈される。
• この枠組みにより、2つのこのような量子群oidsが同型なテンソル圏を生じるかどうかを分析するための新しいコホモロジー的道具が得られる。