[論文レビュー] Double complexes and vanishing of Novikov cohomology

Thomas Huettemann|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限生成表示モジュールのコチェイン複体上の自己写像 $ h $ の代数的マッピングトーラスが、負のノビコフコホモロジーを自明にし、$ h $ が準同型写像である場合には正のノビコフコホモロジーも自明であることを示すために、二重複体に非標準的な全射関手（左・右に切り詰めた積）を導入する。主な応用として、ローレンツ多項式環上での有限生成支配的コチェイン複体が、正および負のノビコフコホモロジーを自明にすることの、新たな初等的証明が得られる。

ABSTRACT

We consider a non-standard totalisation functor to produce a cochain complex from a given double complex: instead of sums or products, totalisation is defined via truncated products of modules. We give an elementary proof of the fact that a double complex with exact rows (resp, columns) yields an acyclic cochain complex under totalisation using right (resp, left) truncated products. As an application we consider the algebraic mapping torus T(h) of a self map h of a cochain complex C. We show that if C consists of finitely presented modules then T(h) has trivial negative Novikov cohomology; if in addition h is a quasi-isomorphism, then T(h) has trivial positive Novikov cohomology as well. As a consequence we obtain a new proof that a finitely dominated cochain complex over a Laurent polynomial ring has trivial Novikov cohomology.

研究の動機と目的

• 一変数ローレンツ多項式環上での有限生成支配性に関するランイキの基準の、新たな初等的証明を確立すること。
• 新規の全射関手を用いて、コチェイン複体のマッピングトーラスにおけるノビコフコホモロジーの消滅を調査すること。
• マッピングトーラスおよび自己写像の文脈において、正と負のノビコフコホモロジーの非対称性を明確にすること。
• 二重複体と形式的ローレンツ級数を用いた概念的枠組みを提供し、有限生成支配的複体を分析すること。

提案手法

• 二重複体に対して左および右に切り詰めた積全射関手を導入し、標準的な直和や直積の代わりに使用する。
• 形式的ローレンツ級数で、左または右に有限な台を持つものとして、$ R((z)) $ および $ R((z^{-1})) $ をノビコフ環として定義する。
• 写像 $ h $ のコーンを用いて、マッピングトーラス $ T(h) $ を二重複体 $ D^{*,*} $ の全複体として再表現する。ここで微分は $ d^h $ と $ d^v $ である。
• 命題 1.2 を適用：$ D^{*,*} $ の列（それぞれ行）が完全であれば、$ {}^{ ext{lt}}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $（それぞれ $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $）は正則である。
• 識別 $ C \otimes_R R((z^{-1})) \cong \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ および $ C \otimes_R R((z)) \cong {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $ を用いて、ノビコフコホモロジーと全射関手の正則性を関連付ける。
• 正則性の条件における全射関手の正則性を適用し、$ h $ 及びその変種におけるノビコフコホモロジーの消滅を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コチェイン複体上の自己写像の代数的マッピングトーラスが、いつ負のノビコフコホモロジーを自明にするか？
• RQ2 このようなマッピングトーラスの正のノビコフコホモロジーが、いつ消えるか？
• RQ3 二重複体の切り詰め全射関手を用いることで、ノビコフコホモロジーをより明確に分析できるか？
• RQ4 ランイキのローレンツ多項式環上での有限生成支配性に関する基準を、初等的なホモロジー代数を用いて再証明できるか？
• RQ5 マッピングトーラスの文脈において、正と負のノビコフコホモロジーの非対称性は、どのように説明できるか？

主な発見

• 命題 1.2 により、$ D^{*,*} $ の列が完全であれば、左切り詰め全射関手 $ {}^\text{lt}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $ は正則である。
• 命題 1.2 により、$ D^{*,*} $ の行が完全であれば、右切り詰め全射関手 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $ は正則である。
• もし $ h $ が準同型写像であれば、$ {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $ が正則であることから、マッピングトーラス $ T(h) $ は正のノビコフコホモロジーを自明に持つ。
• マッピングトーラス $ T(h) $ は、$ h $ に依存せず、$ \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ が常に正則であることから、常に負のノビコフコホモロジーを自明に持つ。
• $ R[z,z^{-1}] $ 上の有限生成支配的コチェイン複体は、マッピングトーラス構成と全射関手の正則性により、正および負のノビコフコホモロジーを自明に持つ。
• この証明は、ノビコフコホモロジーの消滅について、ランイキの元々の議論とは別個の初等的代替証明を提供する。