[論文レビュー] Double Fell bundles and Spectral triples

Rachel A. D. Martins|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特に有限次元において非可換空間をモデル化するための代数的道具として、二重フェルバンドルと二重C*-カテゴリを導入する。折りたたみを伴う離散的二重群相の上に定義された二重フェルラインバンドルの切断代数は、群相の畳み込み代数に同型であり、二重C*-代数をもたらす。また、この文脈においてGNS構成と冪等的双対性（Tomita-Takesaki双対性）を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we construct the notions of double Fell bundle and double C*-category for possible future use as tools to describe noncommutative spaces, in particular in finite dimensions. We identify the algebra of sections of a double Fell line bundle over a discrete double groupoid with folding with the convolution algebra of the latter. This turns out to be what one might call a double C*-algebra. We generalise the Gelfand-Naimark-Segal construction to double C*-categories and we form the dual category for a saturated double Fell bundle using the Tomita-Takesaki involution.

研究の動機と目的

• 有限次元における非可換空間を記述するための代数的枠組み—二重フェルバンドルと二重C*-カテゴリ—を構築すること。
• 折りたたみを伴う離散的二重群相上の二重フェルラインバンドルの切断と、その二重群相の畳み込み代数との対応関係を確立すること。
• 二重C*-カテゴリの文脈において、ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成を一般化すること。
• Tomita-Takesaki対合を用いて、飽和的二重フェルバンドルの双対カテゴリを定義すること。

提案手法

• 折りたたみを伴う離散的二重群相上の二重フェルバンドルの概念を構築する。
• 二重フェルラインバンドルの切断代数を、対応する二重群相の畳み込み代数と同一視する。
• この同一視から得られる構造として二重C*-代数を定義する。
• 正の線形汎関数とヒルベルト双加群を用いて、二重C*-カテゴリへのGNS構成の一般化を行う。
• Tomita-Takesaki理論を応用し、飽和的二重フェルバンドルの双対カテゴリを構成する。
• モジュラー自己同型群とモジュラー共役を用いて、対合を通じて双対性を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換空間をモデル化するために、離散的二重群相上に二重フェルバンドルをどのように定義できるか？
• RQ2 折りたたみを伴う二重群相上の二重フェルラインバンドルの切断から、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成を二重C*-カテゴリの文脈に拡張することは可能か？
• RQ4 Tomita-Takesaki対合は、飽和的二重フェルバンドルの双対カテゴリをどのように得るか？
• RQ5 折りたたみは、二重群相の畳み込み代数構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 折りたたみを伴う離散的二重群相上の二重フェルラインバンドルの切断代数は、その群相の畳み込み代数に同型である。
• この同型は二重C*-代数をもたらし、有限次元非可換空間のための新しい代数的モデルを提供する。
• 正の線形汎関数を用いて、二重C*-カテゴリへのゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成の一般化が成功した。
• 飽和的二重フェルバンドルの双対カテゴリは、Tomita-Takesaki対合を用いて構成された。
• モジュラー共役とモジュラー自己同型群を用いて、切断のカテゴリに双対性構造が定義された。