[論文レビュー] Double flag varieties for a symmetric pair and finiteness of orbits

Kyo Nishiyama, Hiroyuki Ochiai|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素数体上の再帰的群 $G$ とその対合 $ heta$ による固定部分群 $K = G^\theta$ を持つ対称対 $(G,K)$ に対して、二重フラッグ多様体 $G/P \times K/Q$ を導入する。$K$-軌道の有限性を保証する効率的な基準を、三重フラッグ多様体を用いて確立し、特定の三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_P \times \mathfrak{X}_{\theta(P)} \times \mathfrak{X}_{P'}$ が $G$-軌道を有限個もつ場合に、$G/P \times K/Q$ が有限型であることを示している。主な貢献は、$P$ がボレル部分群であるタイプ AIII における有限型二重フラッグ多様体の分類である。

ABSTRACT

Let G be a reductive algebraic group over the complex number filed, and K = G^θ be the fixed points of an involutive automorphism θof G so that (G, K) is a symmetric pair. We take parabolic subgroups P and Q of G and K respectively and consider a product of partial flag varieties G/P and K/Q with diagonal K-action. The double flag variety G/P imes K/Q thus obtained is said to be of finite type if there are finitely many K-orbits on it. A triple flag variety G/P^1 imes G/P^2 imes G/P^3 is a special case of our double flag varieties, and there are many interesting works on the triple flag varieties. In this paper, we study double flag varieties G/P imes K/Q of finite type. We give efficient criterion under which the double flag variety is of finite type. The finiteness of orbits is strongly related to spherical actions of G or K. For example, we show a partial flag variety G/P is K-spherical if a product of partial flag varieties G/P imes G/θ(P) is G-spherical. We also give many examples of the double flag varieties of finite type, and for type AIII, we give a classification when P = B is a Borel subgroup of G.

研究の動機と目的

• 三重フラッグ多様体から二重フラッグ多様体 $G/P \times K/Q$ への有限軌道フラッグ多様体の研究を一般化すること。
• 関連する三重フラッグ多様体の軌道構造を用いて、$G/P \times K/Q$ 上の $K$-軌道の有限性に関する効率的な基準を確立すること。
• タイプ AIII において $P$ がボレル部分群である場合の有限型二重フラッグ多様体の分類をすること。
• $G$ および $K$ の球面的作用と有限軌道条件との関係を明らかにすること。
• タイプ A および C における有限型二重フラッグ多様体の明示的例および表を提供すること。

提案手法

• 定理 3.1 の基準を用いる：$\theta$-安定なパラボリック部分群 $P'$ が $P' \cap K = Q$ を満たし、三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_P \times \mathfrak{X}_{\theta(P)} \times \mathfrak{X}_{P'}$ が $G$-軌道を有限個もつならば、$G/P \times K/Q$ は $K$-軌道を有限個もつ。
• 定理 3.4 を適用する：三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_{P^1} \times \mathfrak{X}_{P^2} \times \mathfrak{X}_{P^3}$ が $G$-軌道を有限個もつとき、$Q = P^2 \cap P^3$ が $K$ 内でパラボリックであれば、$\mathfrak{X}_{P^1} \times \mathcal{Z}_Q$ は $K$-軌道を有限個もつ。
• 球面的作用とボレル軌道の有限性の同値性を用いて、$G$-球面的性質 $\mathfrak{X}_P \times \mathfrak{X}_{\theta(P)}$ と $K$-球面的性質 $\mathfrak{X}_P$ の関係を結ぶ。
• 古典群（A 型および C 型）における既知の有限軌道三重フラッグ多様体の分類を応用して例を構成する。
• $\mathrm{GL}_n$, $\mathrm{Sp}_{2n}$ および対称部分群のパラボリック部分群の構造を活用し、$K$-軌道が有限となる場合を同定する。
• タイプ AIII, CI, CII における有限型二重フラッグ多様体の明示的表（$P$ および $Q$ を標準的パラボリック型で指定）を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称対 $(G,K)$ に対して、二重フラッグ多様体 $G/P \times K/Q$ が有限型（すなわち $K$-軌道が有限個）であるための条件は何か？
• RQ2 $G/P \times K/Q$ 上の $K$-軌道の有限性は、どのようないくつかの三重フラッグ多様体の $G$-軌道の有限性に還元できるか？
• RQ3 $K$ による $\mathfrak{X}_P$ の球面的性質と、$G$ による $\mathfrak{X}_P \times \mathfrak{X}_{\theta(P)}$ の球面的性質との関係は何か？
• RQ4 $P$ がタイプ AIII におけるボレル部分群である場合に、有限型二重フラッグ多様体の完全な分類が可能か？
• RQ5 タイプ C（CI および CII）において、どのパラボリック部分群 $P \subset G$ および $Q \subset K$ が、$G/P \times K/Q$ が $K$-軌道を有限個もつようにするか？

主な発見

• 定理 3.1 により、$\theta$-安定なパラボリック部分群 $P'$ が $P' \cap K = Q$ を満たし、三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_P \times \mathfrak{X}_{\theta(P)} \times \mathfrak{X}_{P'}$ が $G$-軌道を有限個もつならば、二重フラッグ多様体 $G/P \times K/Q$ は有限型である。
• 定理 3.4 により、三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_{P^1} \times \mathfrak{X}_{P^2} \times \mathfrak{X}_{P^3}$ が $G$-軌道を有限個もつとき、$Q = P^2 \cap P^3$ が $K$ 内でパラボリックであれば、$\mathfrak{X}_{P^1} \times \mathcal{Z}_Q$ は $K$-軌道を有限個もつ。
• タイプ AIII において $P = B$ がボレル部分群であるとき、二重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_B \times \mathcal{Z}_Q$ が有限型であるための必要十分条件は、三重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_B \times \mathfrak{X}_{P^2} \times \mathfrak{X}_{P^3}$ が $G$-軌道を有限個もつことである。ただし $P^2P^3$ が $G$ で開集合であることが前提。
• タイプ CI（$G/K = \mathrm{Sp}_{2n}/\mathrm{GL}_n$）において、二重フラッグ多様体 $\mathfrak{X}_P \times \mathcal{Z}_Q$ は $P$ がシーゲルパラボリックまたは最大パラボリック $P_{(1,2n-2,1)}$ であるとき、$Q$ が $K$ 内で任意であっても有限型である。
• タイプ CII（$G/K = \mathrm{Sp}_{2n}/\mathrm{Sp}_{2p} \times \mathrm{Sp}_{2q}$）において、二重フラッグ多様体は $P = P_{(m,2n-2m,m)}$（$1 < m < n$）のとき、$Q$ が $\mathrm{Sp}_{2p}$ および $\mathrm{Sp}_{2q}$ 内のシーゲルパラボリックの直積であるとき有限型である。
• 本稿の表 1～5 には、タイプ AIII, CI, CII における有限型二重フラッグ多様体の明示的例が、$P$ および $Q$ を標準的パラボリック型で指定して記載されている。