[論文レビュー] Double groupoids, matched pairs and then matched triples

Ronald Brown|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二重群格子と一致する群の対の既知の対応関係を三重の場合に拡張し、立方体図と左・右群作用を表す新しい記法を用いて、群の一致する三重組みのための枠組みを提案する。ペア演算（↗, ↘）による代数的合成を導入し、三重組に群構造を定義する。非可換代数学および高次圏論への応用が期待される、一致対理論の高次元一般化を示唆する。

ABSTRACT

In this note we show that the known relation between double groupoids and matched pairs of groups may be extended, or seems to extend, to the triple case. The references give some other occurrences of double groupoids.

研究の動機と目的

• 二重群格子と一致する群の対の間の確立された関係を、三つの群の状況に一般化すること。
• 立方体図を用いて、一致する三重組の群を一貫した代数的・幾何的枠組みで記述すること。
• 高次元群構造における複雑な式を簡略化するための、左および右群作用のための記法体系を導入すること。
• 立方体の幾何学に基づいて、群の公理を満たす三重組の要素の合成法則を提案すること。
• 非可換ホモトピー論および高次圏論における三重群格子構造のさらなる探求の基盤を築くこと。

提案手法

• 群格子の圏における群格子対象としての二重群格子の概念を用いる。二重群格子は、二つの互いに整合性を持つ群格子構造を持つ。
• 二重群格子における正方形の合成の一貫性を保証するため、交換法則を適用する。代数的に表すと (x∘₁z)∘₂(y∘₁w) = (x∘₂y)∘₁(z∘₂w) と表される。
• 作用群格子 M⋊N および M←N を用いて、群の一致対を表す。作用と逆元を図式的記法で表現する。
• TeX風記法として、∧ を用いて作用の上付き記号を表す：^∧mn = ⁱᵐn、m∧n = mⁿ。
• 群 M, N, P が互いに左および右作用を持つ三つの群にこの枠組みを拡張し、辺および頂点にラベルを付けた立方体としてモデル化する。
• 三重組 (m,n,p)(μ,ν,π) の合成法則を、二つの新しい演算 ↗ および ↘ を用いて定義し、ネストされた作用と逆元を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重群格子と一致する群の対の双対性は、三重設定に一般化可能か？
• RQ2 三つの部分群 M, N, P 間の整合的な群作用を、立方体構造において幾何的および代数的に符号化する方法は何か？
• RQ3 高次元群格子における複雑なネストされた作用を簡略化する記法体系は何か？
• RQ4 提案された三重組の要素の合成法則は、群公理を満たすか？
• RQ5 群演算の幾何的解釈は、立方体図の埋め込みとしてどのように解釈できるか？

主な発見

• 本稿は、各面が作用の一致対に一致する立方体モデルを用いた、一致する三重組の群の形式的記法を提案する。
• 左および右群作用を区別するための新しい記法（∧ を用いる）を導入し、複雑な式の可読性を著しく向上させる。
• 三重組の合成は、m↗n = m^(^∧m̄n̄) および m↘n = ^∧(m̄n̄)n という二つの演算を用いて定義され、逆元と作用の相互作用を符号化する。
• 三重組の候補となる群の合成法則は (m,n,p)(μ,ν,π) = (m((μ↗p)↗n), ((μ↗p)↘n)(ν↗(μ↘p)), (ν↗(μ↘p))π) として与えられ、一致対の公式を一般化する。
• この三重合成が群公理を満たすと示唆されるが、これは記号的変形ではなく、立方体図の解析を通じての検証を要する。
• 本フレームワークは、高次元代数的構造および非可換ホモトピー論におけるさらなる研究の出発点として提案される。