[論文レビュー] Double Lie algebroids and second-order geometry, II

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Dec 22, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二重リー群値の二重リー代数的構造を完成させ、LA群値のリー代数的構造がその群値構造のリー代数的構造へ拡張可能であることを証明し、両者の間に自然同型が存在することを示している。さらに、二重リー群値の余接 bundle がシンプレクティック二重群値であることを確立し、双対なポアソン群値を生じさせている。

ABSTRACT

We complete the construction of the double Lie algebroid of a double Lie groupoid begun in the first paper of this title. We show that the Lie algebroid structure of an LA--groupoid may be prolonged to the Lie algebroid of its Lie groupoid structure; in the case of a double groupoid this prolonged structure for either LA--groupoid is canonically isomorphic to the Lie algebroid structure associated with the other; this extends many canonical isomorphisms associated with iterated tangent and cotangent structures. We also show that the cotangent of a double Lie groupoid is a symplectic double groupoid, and that the side groupoids of any symplectic double groupoid are Poisson groupoids in duality. Thus any double Lie groupoid gives rise to a dual pair of Poisson groupoids.

研究の動機と目的

• 最初の論文からの結果を拡張して、二重リー群値の二重リー代数的構造の構成を完成させること。
• LA群値のリー代数的構造が、その下位の群値構造のリー代数的構造へ拡張可能であることを示すこと。
• 二重リー群値に含まれる二つの LA群値の拡張構造の間に自然同型が存在することを確立すること。
• 二重リー群値の余接 bundle が自然にシンプレクティック二重群値構造を有することを示すこと。
• 任意のシンプレクティック二重群値の側面群値が双対なポアソン群値であることを証明し、任意の二重リー群値から双対ペアを生成すること。

提案手法

• LA群値から関連するリー群値構造へのリー代数的構造の拡張を拡張する。
• 2階微分幾何における接続と余接構造の双対性を用いて、自然同型を導出する。
• シンプレクティック群値およびその余接への持ち上げの理論を適用し、二重リー群値の余接 bundle がシンプレクティック二重群値構造を引き継ぐことを示す。
• ポアソン群値の双対性理論を適用し、シンプレクティック二重群値の側面群値が双対ペアを形成することを示す。
• 二重ベクトル束およびリー代数的構造と群値構造の整合性条件の枠組みを用いる。
• 二重構造における余接 bundle のリー代数的構造と接続リー代数的構造の双対の間の自然同型に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LA群値のリー代数的構造は、その下位のリー群値構造のリー代数的構造へどのように拡張可能か？
• RQ2 二重リー群値に含まれる二つの LA群値の拡張されたリー代数的構造の間の自然な関係は何か？
• RQ3 二重リー群値の余接 bundle は自然にシンプレクティック二重群値構造を有するか？
• RQ4 シンプレクティック二重群値の側面群値はポアソン群値の双対性とどのように関係するか？
• RQ5 反復接続および余接構造における自然同型は、二重リー代数的構造の文脈に一般化可能か？

主な発見

• 二重リー群値の群値構造のリー代数的構造への拡張は、双対 LA群値のリー代数的構造と自然同型であることが示された。
• 二重リー群値の余接 bundle がシンプレクティック二重群値であることが示され、リー群値の余接 bundle のシンプレクティック構造を一般化している。
• 任意のシンプレクティック二重群値の側面群値は、互いに双対なポアソン群値であり、双対ペアを形成する。
• この構成により、二重リー群値に含まれる二つの LA群値のリー代数的構造の間の自然同型が得られ、2階微分幾何における古典的同型を拡張している。
• 結果として、二重接続束および二重余接束における既知の同型が統合・一般化された。
• この枠組みにより、任意の二重リー群値からそのシンプレクティック余接構造を介して自然に双対なポアソン群値の双対性が生じる。