[論文レビュー] Double Poisson algebras

Michel Van den Bergh|ArXiv.org|Oct 25, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可換な代数への一般化として、二重ポアソン代数を導入し、代数の表現空間にポアソン構造を誘導する二重括弧を定義する。この枠組みにより、変形された乗法的前プレポアソン代数の表現のモジュライ空間が自然なポアソン構造を有することを証明し、二重括弧と二重ショウテン＝ニーレンブルグ括弧を用いた新しい代数的枠組みを通じて、古典的結果を非可換設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we develop Poisson geometry for non-commutative algebras. This generalizes the bi-symplectic geometry which was recently, and independently, introduced by Crawley-Boevey, Etingof and Ginzburg. Our (quasi-)Poisson brackets induce classical (quasi-)Poisson brackets on representation spaces. As an application we show that the moduli spaces of representations associated to the deformed multiplicative preprojective algebras recently introduced by Crawley-Boevey and Shaw carry a natural Poisson structure.

研究の動機と目的

• 非可換代数におけるポアソン幾何の非可換類似物を、表現空間にポアソン括弧を誘導する新しい代数的構造「二重ポアソン代数」を定義することによって開発すること。
• 非可換設定における双シンプレクティック形式とポアソン構造との関係を一般化すること。
• 二重ポアソン代数と特に変形された乗法的前プレポアソン代数の表現空間の幾何学的性質との関係を確立すること。
• 可換ポアソン多様体の古典的幾何的性質が表現空間を通じて非可換代数へと持ち上げられる枠組みを提供すること。
• 非可換代数幾何の文脈において、準ハミルトニアン還元と双シンプレクティック幾何の結果を統一・一般化すること。

提案手法

• 代数 $A$ に対して、双線形写像 $\{\!\!\{ -, - \}\!\!\} : A \times A \to A \otimes A$ を、フラップ自己同型の下での微分性および反対称性を満たすように定義する。
• 多重量場に於いて、古典的ショウテン＝ニーレンブルグ括弧を非可換設定へ一般化するため、二重ショウテン＝ニーレンブルグ括弧を導入する。
• 公式 $\{a_{ij}, b_{uv}\} = \{\!\!\{a,b\}\!\!\}'_{uj} \{\!\!\{a,b\}\!\!\}''_{iv}$ を用いて、二重ポアソン括弧と表現空間 $\operatorname{Rep}(A, N)$ 上のポアソン括弧との対応を確立する。
• $A \otimes A$ の導来構造を用いて、すべての $N$ に対して $\mathcal{O}(\operatorname{Rep}(A, N))$ に二重ポアソン代数がポアソン代数構造を誘導することを証明する。
• 双シンプレクティック形式 $\omega$ を $\Omega_B A$ 上で定義し、$d\omega = 0$ が $D_B A$ の商代数で $\{P, P\} = 0$ であることと同値であることを示す。これにより、微分的ポアソン元 $P$ との関係を確立する。
• 閉形式性 $\omega$ と $\Omega_B A$ の正則性を用いて、非可換設定におけるモーメント写像 $\mu_i$ を、$\imath_{E_i}(\omega)$ の収縮を用いて構成し、$d\mu_i = \imath_{E_i}(\omega)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換代数におけるポアソン幾何を、その表現空間にポアソン構造を誘導する方法として一般化するには、どのようにすればよいか？
• RQ2 有限次元表現空間すべてにポアソン括弧を誘導する非可換代数上のどの代数的構造が対応するか？
• RQ3 非可換設定において、二重ショウテン＝ニーレンブルグ括弧は、古典的ショウテン＝ニーレンブルグ括弧とどのように関係するか？
• RQ4 双シンプレクティック形式の非可換類似物は何か？ そして、ポアソンコホロジーとどのように関係するか？
• RQ5 変形された乗法的前プレポアソン代数の表現のモジュライ空間は、この枠組みを通じて自然なポアソン構造を有するか？

主な発見

• 本稿では、$A$ が二重ポアソン代数であるならば、座標環 $\mathcal{O}(\operatorname{Rep}(A, N))$ が二重括弧によって誘導される明確なポアソン代数構造を有することを確立した。
• 変形された乗法的前プレポアソン代数に付随するモジュライ空間 $\mathcal{S}_{\alpha,q}/\!\!\! /\operatorname{Gl}_\alpha$ は、アティヤ＝ボットおよび準ハミルトニアン幾何の結果を一般化する自然なポアソン構造を有する。
• 双シンプレクティック形式 $\omega$ は $\Omega_B A$ 上にあり、$d\omega = 0$ が $D_B A / [D_B A, D_B A]$ で $\{P, P\} = 0$ であることと同値である。これにより、古典的シンプレクティック＝ポアソン対応の非可換類似物が確立された。
• 代数 $A$ が双シンプレクティック形式を有するとき、$A$ のド・ラームコホモロジーはそのポアソンコホモロジーと一致する。これは、よく知られた可換な結果を一般化する。
• 基底代数 $B$ の各冪等元 $e_i$ に対してモーメント写像 $\mu_i$ が存在し、$d\mu_i = \imath_{E_i}(\omega)$ を満たす。その存在は、$\Omega_B A$ の次数 $\geq 1$ での正則性と $\omega$ の閉形式性により保証される。
• 二重括弧構成は、行列を最終段階まで明示的に参照しないで、表現空間上のポアソン括弧を直接代数的に計算する方法を提供し、準ハミルトニアン還元に基づく従来のアプローチを統合・簡略化する。