[論文レビュー] Double ramification cycles on the moduli spaces of admissible covers

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限群作用を伴う $\mathbb{P}^1$-スタック $[\mathbb{P}^1/G]$ への安定写像のモジュライ空間上でのスタック的二重ルートサイクル $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ の公式を導出する。ピクソンの公式を $\mathbb{P}^1$-スタックへ一般化したものである。仮想局所化と同等の技法を用いて、$[\mathbb{P}^1/G]$ における $0$ および $\infty$ に対する相対的グロモフ＝ウィッテン不変量が、既知の $BG$ のグロモフ＝ウィッテン理論と導出されたサイクル公式によって完全に決定されることを示している。

ABSTRACT

We derive a formula for the virtual class of the moduli space of rubber maps to $[\mathbb{P}^1/G]$ pushed forward to the moduli space of stable maps to $BG$. As an application, we show that the Gromov-Witten theory of $[\mathbb{P}^1/G]$ relative to $0$ and $\infty$ are determined by known calculations.

研究の動機と目的

• 有限群作用を伴う $[\mathbb{P}^1/G]$ の $\mathbb{P}^1$-スタックの設定において、ピクソンの二重ルートサイクル公式を一般化すること。
• $[\mathbb{P}^1/G]$ における $[0/G]$ および $[\infty/G]$ というオルビフォールド点に対する相対的グロモフ＝ウィッテン不変量を研究すること。
• これらの相対的不変量がスタック的二重ルートサイクルおよび $BG$ のグロモフ＝ウィッテン理論によって完全に決定されることを確立すること。
• 仮想局所化技法をスタック的ラバーマップに拡張し、仮想クラスの $\overline{M}_{g,n}(BG)$ へのプッシュフォワードを計算すること。

提案手法

• スタック的二重ルートサイクル $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ を、$[\mathbb{P}^1/G]$ へのラバーマップのモジュライ空間の仮想クラスのプッシュフォワードとして定義する。
• $[\mathbb{P}^1/G]$ における $\mathbb{C}^*$-同等構造に仮想局所化を適用し、仮想クラスを固定点の寄与に分解する。
• 同等のエーラー類および $c_d(-L_{g,n}^{1/r})$ の生成関数を用いて、安定頂点、ノード、およびターゲットの退化からの寄与を計算する。
• 変数 $s = tr$ のもとで、同等のプッシュフォワードにおける $s^0 r^0$ の係数を分析することで、非同等極限を抽出する。
• 非同等極限における $s^0 r^0$ 係数の消える性質を用いて、$\hat{c}_g = r^{2g-2} \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})$ を用いた $DR_g^G(A)$ の公式を導出する。
• $\hat{c}_g$ が十分大きな $r$ に対して $r$ の多項式であるという事実を活用し、形式的べき級数の技法による係数抽出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用を伴う $[\mathbb{P}^1/G]$ のオルビフォールド設定において、ピクソンの二重ルートサイクル公式をどのように拡張できるか？
• RQ2 $[\mathbb{P}^1/G]$ へのラバーマップのモジュライ空間の仮想クラスの構造はいかなるものか？
• RQ3 $[\mathbb{P}^1/G]$ の相対的グロモフ＝ウィッテン不変量がスタック的二重ルートサイクルによってどの程度決定されるか？
• RQ4 仮想局所化はスタック的ラバーマップにどのように適用可能か？ノードおよびターゲットの退化からの寄与は何か？
• RQ5 $\mathbb{C}^*$-同等プッシュフォワードが、$DR_g^G$ の非同等公式の抽出に利用可能か？

主な発見

• スタック的二重ルートサイクル $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ は、$A^g(\overline{M}_{g,n}(BG))$ 内で $DR_g^G(A) = a^{l(\mu_\infty) - l(\mu_0)} \cdot \mathrm{Coeff}_{r^0}[r \cdot \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})]$ として与えられる。
• 群 $G = \{1\}$ の場合、この公式はピクソンの元々の二重ルートサイクル公式に還元される。
• $([\mathbb{P}^1/G], [0/G])$ および $([\mathbb{P}^1/G], [0/G] \cup [\infty/G])$ の相対的グロモフ＝ウィッテン理論は、導出された公式と既知の $BG$ のグロモフ＝ウィッテン理論によって完全に決定される。
• ラバーマップ空間の仮想クラスには非同等極限が存在し、同等プッシュフォワードにおける $t^{-1}$ の係数は消えるため、$r^0$ 項の抽出が可能である。
• $0$ における安定頂点およびターゲットの退化からの寄与はそれぞれ $r$ の正の整数乗以上を寄与するため、$r^0$ 係数に寄与するのはたった二つのグラフに限られる。
• 最終的な公式は、$L_{g,n}^{1/r}$ の双対の全チャーン類のプッシュフォワードにおける $r^0$ 係数を用いて $DR_g^G(A)$ を表現しており、$\overline{M}_{g,n}(BG)$ 上のタウトロジカルクラスとの深い関係を示している。