[論文レビュー] Doubling construction of Calabi-Yau threefolds

Mamoru Doi, Naoto Yotsutani|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\overline{X}$ がコン pact Kähler 3次元多様体で、$D$ が自明な正規束をもつアンチCanonical K3除集合である適切な対 $(\overline{X}, D)$ を用いて、Calabi-Yau 3次元多様体の微分幾何的二重化構成を提示する。$\overline{X} \setminus D$ の2つのコピーを、漸近的に円筒型のリッチ平坦計量を用いて円筒的端部に沿って非ねじれ的に貼り合わせることで、$\mathrm{SU}(3)$ holonomy をもつコン pact Calabi-Yau 3次元多様体が得られる。この方法により、すべてのベッチ数およびホッジ数の明示的計算が可能となり、123個の位相的に異なる例が得られ、そのうち54個が新たに発見されたものである。

ABSTRACT

We give a differential-geometric construction and examples of Calabi-Yau threefolds, at least one of which is {\it{new}}. Ingredients in our construction are {\it admissible pairs}, which were dealt with by Kovalev in \cite{K03} and further studied by Kovalev and Lee in \cite{KL11}. An admissible pair $(\overline{X},D)$ consists of a three-dimensional compact Kähler manifold $\overline{X}$ and a smooth anticanonical $K3$ divisor $D$ on $\overline{X}$. If two admissible pairs $(\overline{X}_1,D_1)$ and $(\overline{X}_2,D_2)$ satisfy the {\it gluing condition}, we can glue $\overline{X}_1\setminus D_1$ and $\overline{X}_2\setminus D_2$ together to obtain a Calabi-Yau threefold $M$. In particular, if $(\overline{X}_1,D_1)$ and $(\overline{X}_2,D_2)$ are identical to an admissible pair $(\overline{X},D)$, then the gluing condition holds automatically, so that we can {\it always} construct a Calabi-Yau threefold from a {\it single} admissible pair $(\overline{X},D)$ by {\it doubling} it. Furthermore, we can compute all Betti and Hodge numbers of the resulting Calabi-Yau threefolds in the doubling construction.

研究の動機と目的

• 貼り合わせ技術を用いた新しいCalabi-Yau 3次元多様体の微分幾何的構成法の開発。
• 得られたCalabi-Yau多様体のベッチ数およびホッジ数を体系的に計算する方法の提供。
• Fano型および非シンプレクティック型の適切な対を用いて、以前に知られていなかった少なくとも1つの新しいCalabi-Yau 3次元多様体の同定および構成。
• Borcea-Voisinの鏡像対称性構成の微分幾何的解釈の確立。

提案手法

• 適切な対 $(\overline{X}, D)$ から出発する。ここで $\overline{X}$ はコン pact Kähler 3次元多様体であり、$D \subset \overline{X}$ は自明な正規束をもつアンチCanonical K3除集合である。
• $\overline{X} \setminus D$ は漸近的に円筒型のリッチ平坦Kähler計量をもつため、$(\overline{X} \setminus D) \times S^1$ 上に torsion-free $G_2$-構造が構成可能である。
• 二重化構成では、$\overline{X} \setminus D$ の2つのコピーを、円筒的端部に沿って非ねじれ的に貼り合わせ、漸近的幾何を保存する。
• 得られた多様体 $M$ は、大きな貼り合わせパラメータ $T$ に対して torsion-free $G_2$-構造をもつことが示され、これは $\mathrm{SU}(3)$ holonomy をもつリッチ平坦計量に変形可能である。
• ベッチ数およびホッジ数は、包含写像 $H^2(X_i, \mathbb{R}) \to H^2(D_i, \mathbb{R})$ の交差を介して計算されるが、二重化の場合、同じ写像が得られるため簡略化される。
• この方法は、Fano型および非シンプレクティック型の適切な対に適用可能であり、Mori-MukaiおよびNikulinの分類を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な対の二重化により、新しい微分幾何的構成法を用いてCalabi-Yau 3次元多様体を構成できるか？
• RQ2 このような貼り合わせられたCalabi-Yau 3次元多様体のベッチ数およびホッジ数を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 二重化によって得られるCalabi-Yau多様体の位相的およびホッジ理論的構造はどのようなものか？
• RQ4 文献に以前に記載されていなかった新しいCalabi-Yau 3次元多様体の例は存在するか？
• RQ5 二重化構成は、Borcea-Voisin枠組みにおける鏡像対称性とどのように関係するか？

主な発見

• 二重化構成により、123個の位相的に異なるCalabi-Yau 3次元多様体が得られ、そのうちFano型対から得られたのは59個、非シンプレクティック型対から得られたのは64個である。
• そのうち54個は、文献に以前に記載されていなかった新規の例である。
• この構成法により、$D_i$ の包含写像によって誘導されるコhomology写像の交差を介して、すべてのベッチ数およびホッジ数の明示的計算が可能である。
• 得られたCalabi-Yau 3次元多様体には24組の鏡像対と6つの自己鏡像多様体が含まれており、Borcea-Voisinの鏡像対称性と整合的である。
• $h^{1,1} = 10$ のとき、Calabi-Yau 3次元多様体は自己鏡像であることが示され、鏡像対称性の条件 $r + r' = 20, a = a'$ と一致する。
• 得られたCalabi-Yau 3次元多様体のホッジ数は、$(X,Y) = (12,26) + m(12,4) + n(-12,4)$ の形の格子上に位置し、ここで $X = 2(h^{1,1} - h^{2,1})$、$Y = h^{1,1} + h^{2,1}$ である。