[論文レビュー] Doubling Constructions for Covering Groups and Tensor Product L-Functions

Yuanqing Cai, Solomon Friedberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、倍加法をメタプレクティック被覆群へ一般化し、被覆群上の真の離散的自動形式的表現の部分標準的テンソル積L関数を表すグローバル積分を構成する。主な結果は、m が奇数の場合、積分が局所L関数と標準L関数を含むL関数の比を与えることであり、この構成はWhittaker-Speh-Shalikaの極と予想的なShimura上りの両方に依存する。

ABSTRACT

This is a research announcement concerning a series of constructions obtained by applying the "doubling method" from the theory of automorphic forms to covering groups. Using these constructions, we obtain partial tensor product L-functions attached to generalized Shimura lifts, which may be defined in a natural way since at almost all places the representations are unramified principal series.

研究の動機と目的

• 線形古典的群からメタプレクティック被覆群への倍加法の拡張。
• 被覆群上の真の離散的自動形式的表現のための部分標準的テンソル積L関数の定義と研究。
• Eisenstein級数とフーリエ係数を用いた、これらのL関数のグローバル積分表現の確立。
• 高次の被覆群上での極表現の構成という課題に取り組むこと、ここで標準的なWhittakerモデルは機能しない。
• 予想的なShimura上りに基づく、このようなL関数の存在のフレームワークを提示し、特殊な場合に検証すること。

提案手法

• スピン古典的群のm重メタプレクティック被覆群への古典的倍加法の適応。G(F)×G(F)\G(A)×G(A) 上のグローバル積分を用いる。
• より大きな古典的群H^{(r)}(A)の被覆上にEisenstein級数E^{U,ψ_U}_{τ^{(r)}} を用い、誘導データがWhittaker-Speh-Shalika表現に関連する。
• Eisenstein級数のフーリエ係数を用いてL関数を抽出し、表現をGL_k^{(r)}(A) 上のEisenstein級数の極として構成する。
• G(A) → G^{(m)}(A) のセクションの選択に依存しないことを保証するため、r と m の関係（m が奇数のとき r = m、G=Sp_{2n} で m が偶数のとき r = m/2）を導入する。
• アンフォールディング技術を適用し、グローバル積分を表現π^{(m)} とその対偶との内積に関連付ける。
• Langlands-Shahidi法と定数項解析を用いて、インタウィニング作用素の極を研究し、それらをL関数の極に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の自動形式的表現がメタプレクティック被覆群上に存在する場合、倍加法は一般化可能か？
• RQ2 被覆群上の真の離散的表現と一般線型群被覆上の表現のテンソル積に関連するL関数の構造は何か？
• RQ3 GL_k^{(r)} の高次の被覆上でのEisenstein級数の極が、非自明な表現をもたらす条件は何か？
• RQ4 被覆群上の局所L関数は、一般化されたShimura上りを介して線形群上のL関数とどのように関係するか？
• RQ5 本論文で構成されたグローバル積分は非自明で、望ましいL関数の比に等しいか？

主な発見

• m が奇数の場合、グローバル積分Z(s, π^{(m)}, τ^{(m)}) は、π^{(m)}×τ^{(m)} の標準L関数と、τ^{(m)} の対称平方および外積表現におけるL関数を含むL関数の比に等しい。
• L関数の比は明示的に L(αs - (α-1)/2, π^{(m)}×τ^{(m)}) を、τ^{(m)} の対称平方および外積表現におけるL関数の積で割ったものとして与えられ、α = m(2nmk + 1) である。
• この構成は、G(A) → G^{(m)}(A) のセクションの選択に依存しない。これは、m に関する r の選択により保証される。
• m=2 の場合、Sp_{2k}^{(2)}(A) の最小表現とのグローバル積分を用いて、GL_{2k}^{(2)}(A) 上の最大パラボリックEisenstein級数の極表現の非自明性が示される。
• 積分 ∫_{Sp_{2k}(F)\Sp_{2k}(A)} E_{τ^{(2)}}^{(2)}(g) θ_{Sp}^{(2)}(g) dg は絶対収束し、あるデータに対して恒等的にゼロでないことが示され、極が非ゼロであることを証明する。
• この方法は予想的な一般化されたShimura上りに依存する。このような上りが存在し、離散的表現に上るならば、部分L関数 L^S(s, τ^{(m)}×τ̂^{(m)}) は s=1 で単純極を持つことが示され、極表現の存在を支持する。