[論文レビュー] Doubly Exponential Solution for Randomized Load Balancing Models with General Service Times

Quan‐Lin Li|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般サービス時間を持つ確率的ロードバランシングモデルを分析するための新規補助変数法を提案する。密度依存ジャンプマルコフ過程を用いて、無限系の積分微分方程式系を定式化する。閉形式の二重指数的固定点解を確立し、重尾サービス時間下でもその持続性を証明する。一般サービス時間仮定下で指数的収束性およびリプシッツ連続性を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we provide a novel and simple approach to study the supermarket model with general service times. This approach is based on the supplementary variable method used in analyzing stochastic models extensively. We organize an infinite-size system of integral-differential equations by means of the density dependent jump Markov process, and obtain a close-form solution: doubly exponential structure, for the fixed point satisfying the system of nonlinear equations, which is always a key in the study of supermarket models. The fixed point is decomposited into two groups of information under a product form: the arrival information and the service information. based on this, we indicate two important observations: the fixed point for the supermarket model is different from the tail of stationary queue length distribution for the ordinary M/G/1 queue, and the doubly exponential solution to the fixed point can extensively exist even if the service time distribution is heavy-tailed. Furthermore, we analyze the exponential convergence of the current location of the supermarket model to its fixed point, and study the Lipschitz condition in the Kurtz Theorem under general service times. Based on these analysis, one can gain a new understanding how workload probing can help in load balancing jobs with general service times such as heavy-tailed service.

研究の動機と目的

• 重尾サービス時間の下で、スーパー・マーケットモデルにおける二重指数的構造が破壊されるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• より現実的ではあるが解析的に困難な一般（非指数型）サービス時間を持つスーパー・マーケットモデルの、取り扱いやすい解析的枠組みを構築すること。
• 一般サービス時間分布下での無限人口極限における固定点の存在および構造を確立すること。
• 一般サービス時間仮定下で、システム状態が固定点に指数的に収束することを証明し、カートツ型拡散近似に必要なリプシッツ条件を検証すること。
• 重尾サービス時間下でも、ワークロードプローブが負荷バランスに有効であることを示し、データセンターおよびマルチコアシステムにおける実世界の負荷バランシングに新たな知見を提供すること。

提案手法

• スーパー・マーケットモデルにおけるキュー長と残存サービス時間の同時ダイナミクスをモデル化するため、補助変数法を適用する。
• 密度依存ジャンプマルコフ過程としてモデル化することで、無限大の積分微分方程式系を構築する。
• 非線形方程式系を解くことにより、システムの固定点を導出する。これにより、到着情報とサービス情報の積形式分解が可能であることが示される。
• フラッド極限におけるドリフト関数のリプシッツ連続性を確立し、カートツの定理による拡散近似への適用を可能にする。
• フラッド極限と指数的収束解析を用いて、ジョブがシステム内に滞在する期待時間の上限を導出する。
• 数値例を用いて手法の有効性を検証し、非指数型サービス時間分布下でも有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サービス時間が重尾的である場合でも、スーパー・マーケットモデルにおける固定点の二重指数的構造は保持されるか？
• RQ2 一般（非位相型でない）サービス時間分布を持つスーパー・マーケットモデルにおいて、固定点の閉形式解を導出可能か？
• RQ3 一般サービス時間仮定下で、システム状態が固定点にどのように収束するか？
• RQ4 一般サービス時間分布下で、フラッド極限におけるドリフト関数のリプシッツ連続性を保証する条件は何か？
• RQ5 サービス時間が重尾的である場合でも、ワークロードプローブが負荷バランスを効果的に行える範囲はどの程度か？

主な発見

• 一般サービス時間を持つスーパー・マーケットモデルの固定点は、サービス時間分布が重尾的であっても二重指数的構造を示す。
• 固定点は到着情報とサービス情報の積形式に分解可能であり、これはM/G/1キューの定常キュー長分布の尾部とは明確に区別される。
• より一般的なスーパー・マーケットモデルでは、二重指数的解が一意でないことが示され、システムパラメータに対する構造的感度が示唆される。
• 一般サービス時間分布下で、システム状態が固定点に指数的に収束することが確立された。
• フラッド極限におけるドリフト関数はリプシッツ条件を満たし、カートツの定理を用いた厳密な拡散近似が可能である。
• 初期に空であったシステムにおけるジョブの期待滞在時間は、二重指数的固定点を含む式によって上界で抑えられ、一般サービス時間下でも性能向上が確認された。