[論文レビュー] Doubly Exponential Solution for Randomized Load Balancing Models with Markovian Arrival Processes and PH Service Times

Quan‐Lin Li, Lui, John C. S.|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2010

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 46被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、マーカリアン到着過程（MAP）とフェーズ型（PH）サービス時間を持つランダム化ロードバランシングモデルを解析するための行列解析的手法を開発し、固定点が二重指数的減衰構造を示すことを示している。リプシッツ条件の下で固定点への指数的収束が確立されており、非ポアソン的かつ非指数的条件下でもワークロードプローブが効果的にロードをバランシングすることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we provide a novel matrix-analytic approach for studying doubly exponential solutions of randomized load balancing models (also known as supermarket models) with Markovian arrival processes (MAPs) and phase-type (PH) service times. We describe the supermarket model as a system of differential vector equations by means of density dependent jump Markov processes, and obtain a closed-form solution with a doubly exponential structure to the fixed point of the system of differential vector equations. Based on this, we show that the fixed point can be decomposed into the product of two factors inflecting arrival information and service information, and further find that the doubly exponential solution to the fixed point is not always unique for more general supermarket models. Furthermore, we analyze the exponential convergence of the current location of the supermarket model to its fixed point, and apply the Kurtz Theorem to study density dependent jump Markov process given in the supermarket model with MAPs and PH service times, which leads to the Lipschitz condition under which the fraction measure of the supermarket model weakly converges the system of differential vector equations. This paper gains a new understanding of how workload probing can help in load balancing jobs with non-Poisson arrivals and non-exponential service times.

研究の動機と目的

• ポアソン到着および指数的サービス時間の範囲を超えて、一般のMAPおよびPH分布へのスーパー・マーケットモデルの解析を拡張すること。
• 非ポアソン的および非指数的設定下でも、キュー長分布における二重指数的減衰が継続するかを調査すること。
• スーパー・マーケットモデルの分数量の弱収束が微分ベクトル方程式系に至る条件を確立すること。
• バースト性または自己相似性を持つトラフィックおよび一般のサービス時間分布を有するシステムにおけるワークロードプローブの理論的基盤を提供すること。
• MAPおよびPHサービス時間の下で、より広範な到着およびサービス時間の仮定のもとでも、二重指数的解構造のロバストネスを示すこと。

提案手法

• スーパー・マーケットシステムを、MAP到着およびPHサービス時間を有する密度依存ジャンプマルコフ過程としてモデル化する。
• 人口サイズ n → ∞ の極限における振る舞いを記述する微分ベクトル方程式系を導出する。
• カートの定理を適用して、リプシッツ条件の下で分数量の弱収束が微分方程式系に至ることを確立する。
• 行列解析的手法を用いて、二重指数的構造を持つ閉形式の固定点解を導出する。
• 固定点を、到着に起因する要因とサービスに起因する要因の積に分解することで、構造的性質を明らかにする。
• ドリフト関数 F(y) のリプシッツ連続性を確立することで、プロセスが固定点へ指数的に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到着がポアソン過程の代わりにマーカリアン到着過程（MAP）でモデル化された場合、キュー長分布における二重指数的減衰は継続するか？
• RQ2 フェーズ型（PH）サービス時間を有するスーパー・マーケットモデルの固定点は、一般のMAP到着のもとでも二重指数的解構造を示すか？
• RQ3 スーパー・マーケットモデルの分数量が微分ベクトル方程式系に弱収束する条件は何か？
• RQ4 一般のスーパー・マーケットモデル（MAPおよびPHサービス時間）において、固定点の二重指数的解は一意的か？
• RQ5 非指数的および非ポアソン的条件下で、ワークロードプローブメカニズムはロードバランシング性能にどのように影響するか？

主な発見

• MAP到着およびPHサービス時間を有するスーパー・マーケットモデルの固定点は、二重指数的構造を持つ閉形式解を示す。
• 固定点は、到着特性（MAP）を反映する要因とサービス特性（PH）を反映する要因の積に分解可能である。
• より一般のスーパー・マーケットモデルでは、二重指数的解が常に一意的ではないことが示され、システムパラメータに対する構造的感度が示唆される。
• ドリフト関数のリプシッツ条件の下で、システムの現在状態が固定点へ指数的に収束することが確立された。
• 分数量の弱収束が、導出されたリプシッツ条件の下で微分ベクトル方程式系に至ることを確認し、フラッド近似の妥当性を裏付けた。
• 初期状態が空のシステムにおけるタグ付き顧客の期待滞在時間が、d に関する二重指数的項を含む式で上から抑えられることを確認し、提案モデルによる性能向上を裏付けた。