[論文レビュー] Doubly nonnegative relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems

Yanqin Bai, Chuan-Hao Guo|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形加重和法を用いて複数目的二次プログラミング（MOQP）問題を単一目的問題に変換し、非凸問題を凸な二重非負性計画（DNNP）に緩和する二重非負性緩和法を提案する。DNNPの最適解は、やや弱い条件のもとで（弱い）パレート最適解をもたらし、ポートフォリオ選択における数値結果から、スパースな投資配分により低いリスクと高いリターンを達成するという本手法の有効性と可能性が示された。

ABSTRACT

Multicriterion optimization and Pareto optimality are fundamental tools in economics. In this paper we propose a new relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems. Exploiting the technique of the linear weighted sum method, we reformulate the original multiple objective quadratic programming problems into a single objective one. Since such single objective quadratic programming problem is still nonconvex and NP-hard in general. By using the techniques of lifting and doubly nonnegative relaxation, respectively, this single objective quadratic programming problem is transformed to a computable convex doubly nonnegative programming problem. The optimal solutions of this computable convex problem are (weakly) Pareto optimal solutions of the original problem under some mild conditions. Moreover, the proposed method is tested with two examples and a practical portfolio selection problem. The test problems are solved by exttt{CVX} package which is a solver for convex optimization. The numerical results show that the proposed method is effective and promising.

研究の動機と目的

• 実用的応用における非凸的でNP困難な複数目的二次プログラミング（MOQP）問題を解くという課題に対処すること。
• 非凸的MOQP問題の（弱い）パレート最適解を特定する計算上で扱いやすい手法を開発すること。
• 線形加重和法とリフトおよび二重非負性緩和技術を統合し、元の非凸問題を凸で解ける形に変換すること。
• ベンチマークおよび実世界のポートフォリオ選択問題における本手法の有効性を検証すること。
• 本手法が、主要な資産に焦点を当てたスパースな最適解を生成できることを示すこと。

提案手法

• 多目的問題を単一目的二次計画（SOQP）に変換するために線形加重和法が適用される。
• リフト技術を用いてSOQPを完全正定値計画（CPP）問題に再定式化し、元の問題の構造を保持する。
• CPP問題に二重非負性緩和（DNNP）が適用され、凸で計算的に取り扱いやすい最適化問題に変換される。
• DNNP問題の最適解は、やや弱い条件下で元のMOQP問題の（弱い）パレート最適解をもたらすことが示される。
• DNNP問題はCVXパッケージ（凸最適化ソルバ）を用いて解かれるため、数値的検証が可能になる。
• 非負の象限と線形制約の構造を活用することで、緩和プロセス全体を通じて妥当性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重非負性緩和法は、非凸的MOQP問題のパレート最適解を効果的に近似できるか？
• RQ2 本手法は、ポートフォリオ選択において、従来手法と比較して解の品質およびスパarsityの点で優れているか？
• RQ3 DNNP緩和問題の解が、元のMOQP問題の（弱い）パレート最適解に対応する条件は何か？
• RQ4 本手法は、主要な資産に焦点を当てたスパースな投資配分を生成できるか？
• RQ5 線形加重和法における重みベクトルの選択に、結果がどれほど敏感か？

主な発見

• 例5では、λ = (0.3482, 0.1655, 0.4863) の条件下で、リスクが0.1894、リターンが15.6800に達し、[16]の結果と比較してリスク低減とリターン向上の両面で優れた性能を示した。
• 最適解ベクトルx*はスパースであり、非ゼロ成分が3つに限定されており、少数の主要株式に集中投資されていることが示された。
• λ = (0.5141, 0.1931, 0.2927) の場合、リスクは0.1320、リターンは15.5462に達し、リスクとリターンのバランスを保つ能力がさらに確認された。
• ベンチマーク[16]と比較して、同等またはより優れた結果を示し、リスク（0.1894 vs. 0.6823）は低く、リターン（15.6800 vs. 7.5079）は高く、優位性が裏付けられた。
• DNNP緩和は、元の非凸問題の構造を効果的に捉え、高品質なパレート解への収束を可能にした。
• 異なる重みベクトルに対しても本手法は頑健であり、投資家が好みを調整し、カスタマイズされたリスク・リターントレードオフを得られることが示された。