[論文レビュー] Doubly-Periodic String Comparison

Boris Bukh, Christopher Cox|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2019

Algorithms and Data Compression被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ランダムな語 R と二重周期的語 W(n) 間の最長共通部分列（LCS）の期待長さを分析するための新規な「frog dynamics」粒子系を導入し、E[LCS(R, W(n))] = γW n − τW √n + O(1) が成り立つことを示した。ここで γW と τW は計算可能な定数である。主な貢献は、LCS 渐近挙動と相互作用粒子系を結びつける厳密な枠組みを確立し、W に異なる記号が含まれる場合の γW の明示的公式を提示するとともに、ランダム語対の LCS 行動に関する新たな予想を提示した。

ABSTRACT

Let $W^{(n)}$ be the $n$-letter word obtained by repeating a fixed word $W$, and let $R_n$ be a random $n$-letter word over the same alphabet. We show several results about the length of the longest common subsequence (LCS) between $W^{(n)}$ and $R_n$; in particular, we show that its expectation is $γ_W n-O(\sqrt{n})$ for an efficiently-computable constant $γ_W$. This is done by relating the problem to a new interacting particle system, which we dub "frog dynamics". In this system, the particles (`frogs') hop over one another in the order given by their labels. Stripped of the labeling, the frog dynamics reduces to a variant of the PushTASEP. In the special case when all symbols of $W$ are distinct, we obtain an explicit formula for the constant $γ_W$ and a closed-form expression for the stationary distribution of the associated frog dynamics. In addition, we propose new conjectures about the asymptotic of the LCS of a pair of random words. These conjectures are informed by computer experiments using a new heuristic algorithm to compute the LCS. Through our computations, we found periodic words that are more random-like than a random word, as measured by the LCS.

研究の動機と目的

• ランダム語と固定された周期的語の間の期待 LCS 長を理解すること。これは古典的なランダム同士の LCS 問題を拡張するものである。
• 周期的設定における LCS 定数の収束速度、分布的挙動、計算可能性に関する未解決問題を解明すること。
• 周期的文字列における LCS 挙動をモデル化・分析するための新規な相互作用粒子系「frog dynamics」を導入すること。
• ヒューリスティックなアルゴリズムとシミュレーションに基づいて、二つのランダム語の LCS に関する新たな予想を提示すること。

提案手法

• 「不快さ」の順に互いを飛び越えるラベル付きのカエル（frogs）が動く粒子系として LCS 問題をモデル化し、これは PushTASEP の変種と等価な力学系を形成する。
• frog dynamics の定常分布を定義し、カップリング論法と Dyck 路線組合せ論を用いて、LCS 漸近挙動を符号化する。
• 動的計画法の再帰的アプローチにより、ランダム語と周期的語の間の LCS を O(kn) 時間で計算する。ここで k は周期長である。
• γW(ρ) を密度 ρ の関数として、区分的線形かつ非増加の勾配関数として導出し、τW(ρ) が非ゼロに変わる臨界点で不連続性を示す。
• m-配置における補助的 frog dynamics の定常分布から γW と τW を計算するアルゴリズムを構築し、状態空間を k! から |Σ|·2k に削減する。
• 新しいヒューリスティック LCS アルゴリズムを用いたコンピュータシミュレーションにより、二つのランダム語対について E[LCS(R,R′)] = γn − Θ(n^{1/3}) が成り立つと予想し、二進法では γ ≈ 0.8122 である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された周期的語 W とランダム語 R に対して、E[LCS(R, W(n))] の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 LCS(R, W(n)) の分布はどのように振る舞うか。特に、漸近的に正規分布に従うか。どのような条件下でそうなるか？
• RQ3 周期的語の LCS 定数 γW は効率的に計算可能か。また、その語の記号構成に基づく構造は何か？
• RQ4 ランダム語よりも高い LCS 期待値を示す周期的語は存在するか。これは、それらが「よりランダムに似ている」という主張を支持するか？
• RQ5 ランダム同士のケースにおける E[LCS(R,R′)] の収束速度の正しい評価は何か。また、分散は n に対して線形に増加するか？

主な発見

• ランダム語 R と k-周期的語 W(n) 間の期待 LCS 長は、E[LCS(R, W(n))] = γW n − τW √n + O(1) で与えられ、γW と τW は W から明示的に計算可能である。
• すべての記号が異なる語の場合、γW は記号頻度の調和平均を含む閉形式で与えられ、frog dynamics の定常分布は Dyck 路線上の一様測度である。
• τW = 0 かつ γW の勾配が正であるか、または W に一部のアルファベット記号が欠落している場合、LCS の分布は漸近的に正規分布に従い、分散は線形に増加する。それ以外の場合は分散は線形より小さい。
• τW ≠ 0 の場合、適切なスケーリングの下で LCS は二つの i.i.d. 正規乱数の最小値に分布収束する。
• 本稿では、γW(1) ≥ 0.82118 を満たす周期的二進語（例：W = 0110111010010110010001011010）を特定し、これは二つのランダム語対の予想される γ ≈ 0.8122 を上回る。
• シミュレーションの結果、二つのランダム語対について E[LCS(R,R′)] = γn − Θ(n^{1/3}) が成り立ち、二進法では γ ≈ 0.8122 であり、LCS(R,R′) の分散は n に対して線形に増加すると考えられる。