[論文レビュー] Doubly Reflected BSDEs and ${\cal E}^{f}$-Dynkin games: beyond the right-continuous case

Miryana Grigorova, Peter Imkeller+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$S^2$ 内の過程をその最小の強超martingale包への写像 $\mathcal{R}$ に適用する際の単調収束結果を確立する。右連続性を仮定しない一般化された状況へ既知の結果を拡張する。$S^2$ 内の非減少列 $(\xi_n)$ が $\xi \in S^2$ に収束するならば、$\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ が成り立つことを示し、非減少強超martingale列の極限が自身で強超martingaleであるという事実を応用する。

ABSTRACT

We formulate a notion of doubly reflected BSDE in the case where the barriers $ξ$ and $ζ$ do not satisfy any regularity assumption and with a general filtration. Under a technical assumption (a Mokobodzki-type condition), we show existence and uniqueness of the solution. In the case where $ξ$ is right upper-semicontinuous and $ζ$ is right lower-semicontinuous, the solution is characterized in terms of the value of a corresponding $\mathcal{E}^f$-Dynkin game, i.e. a game problem over stopping times with (non-linear) $f$-expectation, where $f$ is the driver of the doubly reflected BSDE. In the general case where the barriers do not satisfy any regularity assumptions, the solution of the doubly reflected BSDE is related to the value of ''an extension'' of the previous non-linear game problem over a larger set of ''stopping strategies'' than the set of stopping times. This characterization is then used to establish a comparison result and extit{a priori} estimates with universal constants.

研究の動機と目的

• 非右連続な過程に対しても二重に反射されたBSDEおよび $\mathcal{E}^f$-Dynkinゲームの理論を拡張すること。
• 過程からその最小の強超martingale包への写像 $\mathcal{R}$ に対する単調収束性を確立すること。
• $S^2$ 内の非減少列の極限が $S^2$ に属する限り、その $\mathcal{R}$-像の収束が保たれることを証明すること。
• 反射されたBSDEおよび強超martingaleの性質を用いて、古典的最適停止理論の結果を非右連続設定へ一般化すること。

提案手法

• $\mathcal{R}[\xi]$ は、障害 $\xi$ を持つ反射されたBSDEの解の第一成分として定義され、これは $\xi$ のSnellen包に一致する。
• 証明は [MG3] の定理 3.1 に依拠しており、$\mathcal{R}[\xi]$ がすべての停止時刻 $\tau \geq \theta$ に対する $\mathbb{E}[\xi_\tau \mid \mathcal{F}_\theta]$ の本質的上限として特定されることにより、$\xi$ を支配する最小の強超martingaleであることが保証される。
• $\mathcal{R}$ の単調性を用いて、$\mathcal{R}[\xi_n]$ が $n$ に関して非減少列をなすことが示され、したがってある極限 $X \in S^2$ に収束する。
• 非減少強超martingale列の極限に対する条件付き期待値のLebesgue定理を適用することで、極限 $X$ が強超martingaleであることが示される。
• その後、強超martingaleの $\mathcal{R}$-像が自身に一致することを用いて、$X = \mathcal{R}[X]$ が証明される。
• 最後に、$X \geq \xi$ と $\mathcal{R}$ の定義から $X \geq \mathcal{R}[\xi]$ が導かれ、$X \leq \mathcal{R}[\xi]$ と合わせて $\mathcal{R}[\xi] = X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{R}$ は $S^2$ 内の非減少列に適用された際に単調極限を保存するか？
• RQ2 右連続性を仮定しない状況下でも、$\xi_n \uparrow \xi$ かつ $\xi \in S^2$ のとき、$\mathcal{R}[\xi_n]$ が $\mathcal{R}[\xi]$ に収束することが保証されるか？
• RQ3 右連続性がない状況下で、強超martingale列の非減少極限は自身で強超martingaleであるか？
• RQ4 反射されたBSDEの文脈において、Snellen包（$\xi$ を支配する最小の強超martingale）は単調極限に対してどのように振る舞うか？
• RQ5 $\xi_n \uparrow \xi$ が $S^2$ 内で成り立つとき、$\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ が成り立つための条件は何か？

主な発見

• $\mathcal{R}$ は非減少である：$\xi \leq \xi'$ ならば $\mathcal{R}[\xi] \leq \mathcal{R}[\xi']$ である。
• $\xi$ が強超martingaleであるならば、$\mathcal{R}[\xi] = \xi$ である。つまり、$\mathcal{R}$ は強超martingaleを固定する。
• 任意の $\xi \in S^2$ に対して、$\mathcal{R}[\xi]$ は強超martingaleであり、$\mathcal{R}[\xi] \geq \xi$ を満たす。これは、$\mathcal{R}[\xi]$ が最小のこのような過程であることを意味する。
• 非減少列 $\mathcal{R}[\xi_n]$ の極限 $X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ は、強超martingaleである。なぜなら、強超martingale列の非減少極限であるからである。
• $X = \mathcal{R}[X]$ が成り立つ。これは、極限 $X$ が $\mathcal{R}$ に対して不変であることを確認する。
• $X \geq \mathcal{R}[\xi]$ と $X \leq \mathcal{R}[\xi]$ を示すことにより、$\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ が確立され、単調収束性が証明される。