[論文レビュー] Doubly stochastic distributions of extreme events

Marco Marani, Enrico Zorzetto|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、年間の出来事頻度と大きさの分布における変動を考慮する非漸近的で二重確率的アプローチとして、メタ統計的極値分布（MEVD）を導入する。出来事の年間数とそのパラメータを確率変数としてモデル化することで、MEVDは特に短記録の場合に高分位数推定を向上させ、従来の極値理論および関連する二重確率的モデルを凌駕する。

ABSTRACT

The distribution of block maxima of sequences of independent and identically-distributed random variables is used to model extreme values in many disciplines. The traditional extreme value (EV) theory derives a closed-form expression for the distribution of block maxima under asymptotic assumptions, and is generally fitted using annual maxima or excesses over a high threshold, thereby discarding a large fraction of the available observations. The recently-introduced Metastatistical Extreme Value Distribution (MEVD), a non-asymptotic formulation based on doubly stochastic distributions, has been shown to offer several advantages compared to the traditional EV theory. In particular, MEVD explicitly accounts for the variability of the process generating the extreme values, and uses all the available information to perform high-quantile inferences. Here we review the derivation of the MEVD, analyzing its assumptions in detail, and show that its general formulation includes other doubly stochastic approaches to extreme value analysis that have been recently proposed.

研究の動機と目的

• 古典的極値理論の限界に対処すること。この理論は大多数の観測値を無視し、漸近的収束を仮定する。
• 出来事頻度と大きさの分布における年間変動を明示的に考慮する非漸近的極値モデルの開発。
• 最近の二重確率的アプローチ（例：De MicheleとAvanzi, 2018のスーパーモデル的極値分布）をより広範なMEVDフレームワークの下で統合・一般化すること。
• 特にDe MicheleとAvanzi (2018)における制限的な二項分布仮定の背後にある仮定を明確にすること。

提案手法

• 出来事の年間数を確率変数として扱い、各年の最大値を個々の出来事の大きさの累積分布関数のn乗として定式化することで、MEVDを定義する。
• 出来事の数（N）と出来事の大きさ分布のパラメータ（θ）を年ごとに確率変数として扱うことで、二重確率的フレームワークを構築する。
• MEVDの一般形をζ(x) = Σ p(n) F(x|C,w)^nとして導出する。ここでp(n)は出来事数の分布、F(x|C,w)は非ゼロ出来事のためのワイブル分布の累積分布関数である。
• Nに二項分布を仮定することで、De MicheleとAvanzi (2018)のスーパーモデル的極値分布をMEVDの特殊ケースとして再構築する。
• 観測された年間最大値への適合を改善するために、ワイブル分布のしきい値パラメータのキャリブレーションにコルモゴロフ＝スミルノフ統計量を用いる。
• 21,510件のGHCN局のデータを用いてモデルを検証し、ゼロ次マーカフ連鎖よりも一次マーカフ連鎖が出来事発生をよりよく表現していることが判明したが、解析的扱いやすさのため、本研究ではゼロ次マーカフ連鎖を採用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短記録の場合に、MEVDは古典的極値理論に比べてどのように極値推定を改善するか？
• RQ2 MEVDとDe MicheleとAvanzi (2018)のスーパーモデル的アプローチのような他の二重確率的極値モデルとの関係は何か？
• RQ3 極値モデリングにおいて出来事数に二項分布を仮定することは、どのような意味を持つのか？
• RQ4 出来事頻度と大きさのパラメータの年間変動が、高分位数推定の正確性に与える影響は何か？
• RQ5 出来事発生における時間的依存性の役割は何か？ また、ゼロ次マーカフ仮定の妥当性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 出来事の年間数が二項分布に従う場合、MEVDはDe MicheleとAvanzi (2018)のスーパーモデル的極値分布を特殊ケースとして一般化・包含する。
• 特に観測年数（S）が還元期間（T_r）に比べて小さい短記録状況において、MEVDは極値推定を顕著に改善する。
• 出来事数に二項分布を仮定することは制限的であるが、閉形式の表現が得られ、スーパーモデル的モデルと一致するため、特定の条件下でその使用が正当化される。
• 21,510件のGHCN局の実証的分析から、ゼロ次マーカフ連鎖よりも一次マーカフ連鎖が降雨イベント発生をよりよく表現していることが示されたが、解析的扱いやすさのため、本研究ではゼロ次マーカフ連鎖を採用している。
• MEVDフレームワークにより、極値でないイベントを含むすべての利用可能なデータを完全に活用でき、従来の年間最大値アプローチに比べて統計的効率性が向上する。
• 観測不確実性に対しても頑健であり、小時間雨量データおよび衛星ベースの雨量データへの応用例から、リモートセンシング雨量推定値に対しても良好な性能を示す。