[論文レビュー] Drawing (Complete) Binary Tanglegrams: Hardness, Approximation, Fixed-Parameter Tractability

Kevin Buchin, Maike Buchin+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、対応するリーフを持つ根付き二分木のペアであるバイナリ・タングルグラムの描画において、木間エッジの交差数を最小化する問題の計算複雑性を調査する。完全二分木でさえもNP困難であることを証明し、一意ゲーム予想の下で近似不可能性を確立し、完全二分木に対してO(n³)時間の2-近似アルゴリズムを提示するとともに、交差数をパラメータとする固定パrameter可 tractableなアルゴリズムを提案する。

ABSTRACT

A \emph{binary tanglegram} is a drawing of a pair of rooted binary trees whose leaf sets are in one-to-one correspondence; matching leaves are connected by inter-tree edges. For applications, for example, in phylogenetics, it is essential that both trees are drawn without edge crossings and that the inter-tree edges have as few crossings as possible. It is known that finding a tanglegram with the minimum number of crossings is NP-hard and that the problem is fixed-parameter tractable with respect to that number. We prove that under the Unique Games Conjecture there is no constant-factor approximation for binary trees. We show that the problem is NP-hard even if both trees are complete binary trees. For this case we give an $O(n^3)$-time 2-approximation and a new, simple fixed-parameter algorithm. We show that the maximization version of the dual problem for binary trees can be reduced to a version of MaxCut for which the algorithm of Goemans and Williamson yields a 0.878-approximation.

研究の動機と目的

• バイナリ・タングルグラムにおけるエッジ交差数の最小化の計算複雑性を理解すること。これは系統発生学的およびソフトウェア可視化分野の重要な問題である。
• バイナリ・タングルグラム交差数最小化問題に対して定数倍近似アルゴリズムが存在するかを特定すること。
• 交差数が小さい場合に効率的なアルゴリズムを開発すること。特に、交差数が小さい場合の固定パラメータ可 tractableなケースを対象とする。
• 特に完全二分木の文脈において、最適なタングルグラムレイアウトの構造的性質を調査すること。
• 交差数最小化と、MaxCut やエッジ削除による平面化といった関連問題との関係を探索すること。

提案手法

• 両方の木が完全二分木である場合でさえも、タングルグラム交差数最小化問題がNP困難であることを証明する。
• 一意ゲーム予想の下で、バイナリ・タングルグラムに対して定数倍近似が存在しないことを示す。
• 木の分解に基づく動的計画法を用いて、完全二分木のタングルグラムに対してO(n³)時間の2-近似アルゴリズムを提案する。
• 交差数kをパラメータとする固定パラメータ可 tractableなアルゴリズムを導入し、サイズO(4^k)の探索木を用い、O(4^k n²)時間で実行する。
• 内部ノードで部分木の順序を固定し、各レベルで交差数を数える再帰的分解戦略を用いる。
• 双対問題の最大化版からMaxCutへの還元を行い、Goemans-Williamsonの0.878-近似アルゴリズムを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイナリ・タングルグラム交差数最小化問題に対して定数倍近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ2 交差数が小さい場合に問題を効率的に解くことができるか、すなわち固定パラメータ可 tractableか？
• RQ3 両方の木が完全二分木である場合でも、問題の難易度は維持されるか？
• RQ4 非交差エッジ数を最大化する双対問題は、効果的に近似可能か？
• RQ5 現在のレベルでの交差回避ヒューリスティクスは最適なレイアウトを達成するのに十分か、それともグローバルな配置が必要か？

主な発見

• バイナリ・タングルグラム交差数最小化問題は、両方の木が完全二分木である場合ですらNP困難である。
• 一意ゲーム予想の下で、この問題に対して定数倍近似は存在しない。
• 完全二分木のタングルグラムに対して、O(n³)時間の2-近似アルゴリズムが提示された。
• 交差数kをパラメータとする固定パラメータ可 tractableなアルゴリズムが開発され、実行時間はO(4^k n²)である。
• アルゴリズムは部分木順序を再帰的にすべて探索するが、現在のレベルでの交差回避は最適性を達成するのに不十分である。
• 非交差エッジ数を最大化する双対問題は、MaxCutの変種に還元可能であり、Goemans-Williamsonの手法により0.878-近似が可能である。