[論文レビュー] Drawing graphs with vertices and edges in convex position

Ignacio García-Marco, Kolja Knauer|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Halman, Onn, および Rothblum が提起した予想を解決し、頂点および辺の中点が厳密に凸な位置にあるグラフ（Gs_s）が非平面的である可能性があり、最大で 2n−3 条の辺を持つことが示された。これは以前の予想された 3n−6 という上界を著しく改善するものである。弱凸性の変種を導入し、Gw_s に対して正確な上界（2n−3 条の辺）を確立した。また、Minkowski和における凸点集合の問題と関連づけ、A+A の最大の弱凸部分集合のサイズが 2n であり、厳密に凸な部分集合のサイズは 1.5n から 2n−2 の間にあることを示した。

ABSTRACT

A graph has strong convex dimension $2$, if it admits a straight-line drawing in the plane such that its vertices are in convex position and the midpoints of its edges are also in convex position. Halman, Onn, and Rothblum conjectured that graphs of strong convex dimension $2$ are planar and therefore have at most $3n-6$ edges. We prove that all such graphs have at most $2n-3$ edges while on the other hand we present a class of non-planar graphs of strong convex dimension $2$. We also give lower bounds on the maximum number of edges a graph of strong convex dimension $2$ can have and discuss variants of this graph class. We apply our results to questions about large convexly independent sets in Minkowski sums of planar point sets, that have been of interest in recent years.

研究の動機と目的

• Halman, Onn, および Rothblum が提起した予想、すなわち強凸次元 2 のグラフは平面的であり、したがって最大で 3n−6 条の辺を持つという予想を解決すること。
• 頂点および辺の中点が厳密に凸な位置にある場合（Gs_s）に、n 頂点のグラフが取りうる最大の辺数を正確に特定すること。
• 弱凸性を用いたグラフ図形の変種を調査・特徴づけ、これらのクラスに対してタイトな境界を確立すること。
• グラフ図形問題を、平面点集合の Minkowski 和における大きな凸部分集合を見つける問題と関連づけ、特に凸入力集合の場合を対象とする。

提案手法

• 頂点集合および中点集合の凸性タイプ（厳密、弱、任意）に基づいて、図形クラス Gj_i を定義・分類する。
• 幾何的摂動技法を用いて弱凸中点集合を厳密凸に変換し、Gs_s = Gs_w を証明する。
• アフィン変換と凸包解析を用い、K4−e が Gw_s 属するが Gs_s には属しないことを示し、包含関係が厳密であることを立証する。
• 頂点の可視性および追加頂点への辺の可視性を分析することで、Gw_s および Gs_s の辺数を束縛する、組合せ的および幾何的議論を適用する。
• 辺の中点を A+A の点に関連づけることで、グラフ図形問題を Minkowski 和の文脈に翻訳し、頂点と中点の対応を考慮した調整済みカウント egj_i(n) を定義する。
• 0、1、または2本の接続辺を持つ頂点に関する可視性制約と、辺数・追加可能な頂点数の不等式を用いて、上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Halman, Onn, および Rothblum が提起したように、強凸次元 2 のすべてのグラフは平面的であるのだろうか？
• RQ2 頂点および辺の中点が厳密に凸な位置にある場合、n 頂点のグラフが取りうる最大の辺数は何か？
• RQ3 Gs_s は葉の追加に関して閉じているのだろうか？また、Gs_s や Gw_s に属するための構造的性質は何か？
• RQ4 凸平面 n 点集合 A に対して、Minkowski 和 A+A の最大凸部分集合のサイズはどれほどか？
• RQ5 頂点および中点に弱凸性制約を課えると、このようなグラフの最大辺数にどのような影響を与えるか？

主な発見

• Gs_s には非平面的グラフが含まれるため、すべての強凸次元 2 グラフが平面的であるという予想は誤りである。
• 強凸次元 2 のグラフにおける最大辺数は 2n−3 以下であることが示され、以前の予想された 3n−6 という上界を改善した。
• Gw_s は n≥3 のとき、正確に 2n−3 条の辺を持つ。この上界はタイトであり、凸多角形上に描かれたサイクルグラフ Cn によって達成される。
• 凸平面 n 点集合 A に対して、A+A の最大の弱凸部分集合のサイズは正確に 2n であり、凸多角形の図形によって達成される。
• 凸平面 n 点集合 A に対して、A+A の最大の厳密凸部分集合のサイズは 32n から 2n−2 の間であり、下限は独立集合の頂点とすべての中点によって達成される。
• Gs_s は葉の追加に関して閉じていない。反例によって示されたが、辺の分割により Gs_s に属するグラフを作成可能である。