[論文レビュー] Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices

Giordano Da Lozzo, Vida Dujmović+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、treewidthが3以下の$n$頂点平面グラフおよび3-連結な立方平面グラフの両方について、それぞれ$\lceil(n-3)/8\rceil$および$\lceil n/4 \rceil$個の共線頂点を持つ平面直線描画が可能であることを確立している。これらの結果により、線形サイズの共線集合がより広いグラフクラスへと拡張され、有界treewidthおよび有界次数の平面グラフに関する未解決問題が解決され、アンタングルメント、ユニバーサル部分集合、およびカラム平面性のための改善された境界が得られる。

ABSTRACT

Consider the following problem: Given a planar graph $G$, what is the maximum number $p$ such that $G$ has a planar straight-line drawing with $p$ collinear vertices? This problem resides at the core of several graph drawing problems, including universal point subsets, untangling, and column planarity. The following results are known for it: Every $n$-vertex planar graph has a planar straight-line drawing with $Ω(\sqrt{n})$ collinear vertices; for every $n$, there is an $n$-vertex planar graph whose every planar straight-line drawing has $O(n^σ)$ collinear vertices, where $σ<0.986$; every $n$-vertex planar graph of treewidth at most two has a planar straight-line drawing with $Θ(n)$ collinear vertices. We extend the linear bound to planar graphs of treewidth at most three and to triconnected cubic planar graphs. This (partially) answers two open problems posed by Ravsky and Verbitsky [WG 2011:295--306]. Similar results are not possible for all bounded treewidth planar graphs or for all bounded degree planar graphs. For planar graphs of treewidth at most three, our results also imply asymptotically tight bounds for all of the other above mentioned graph drawing problems.

研究の動機と目的

• 与えられた平面グラフの平面直線描画において、共線となる頂点の最大数を特定すること。
• treewidth-2からtreewidth-3の平面グラフへと既知の線形境界を共線集合に拡張し、3-連結な立方平面グラフに対しても同様の拡張を行うこと。
• RavskyおよびVerbitskyが提起した、有界treewidthおよび有界次数の平面グラフにおいて線形サイズの自由共線集合が存在するかという未解決問題に応えること。
• アンタングルメント、ユニバーサルポイント部分集合、およびカラム平面性といった関連するグラフ描画問題に対するより緊密な境界を確立すること。
• 一般の平面グラフにおいて、すべての共線集合が自由共線集合であるかどうかを調査し、3-ツリーにおける共線頂点数を最大化する計算複雑性を検討すること。

提案手法

• 共線集合とその双対グラフにおける長周期の間の双対性を利用し、treewidth-3および3-連結な立方平面グラフの双対グラフの構造的性質を分析する。
• 3-ツリーの再帰的構造に動的計画法を適用し、平面直線描画における最大共線内部頂点数を計算する。
• 3-ツリーの外側面を交差する曲線の性質を特徴づけ、6つの位相的に異なるタイプの曲線を定義し、それぞれが通過できる内部頂点数の最大値を追跡する。
• 3-ツリーにおけるすべての共線集合が自由共線集合であることを証明し、これによりアンタングルメントおよびユニバーサル部分集合への強力な応用が可能になる。
• 任意の$n$頂点平面グラフについてtreewidthが$k$であるとき、サイズ$\Omega(k^2)$の共線集合が存在することを示し、$k = \omega(n^{1/4})$のとき、一般の$\Omega(\sqrt{n})$の境界を改善する。
• 最大平面グラフの双対におけるサイクル長に関する既知の結果を応用し、特に三角形分割に対して共線集合の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 treewidthが3以下の$n$頂点平面グラフは、すべて$\Omega(n)$個の共線頂点を持つ平面直線描画が可能か？
• RQ2 すべての3-連結な立方平面グラフは、$\Omega(n)$個の共線頂点を持つ平面直線描画が可能か？
• RQ3 有界treewidthのすべての平面グラフにおいて、線形サイズの自由共線集合を達成可能か？また、非線形挙動の閾値は何か？
• RQ4 平面グラフにおけるすべての共線集合が自由共線集合に対応するか？また、それらのサイズはどのように比較されるか？
• RQ5 3-ツリーにおける共線頂点数の最大値は多項式時間で計算可能か？また、$\lceil(m+2)/3\rceil$という境界はすべての$m$に対してタイトか？

主な発見

• treewidthが3以下の$n$頂点平面グラフは、サイズ$\lceil(n-3)/8\rceil$の自由共線集合を持つ。これは、treewidth-2グラフにおける線形境界の拡張である。
• 3-連結な立方平面グラフの$n$頂点平面グラフは、サイズ$\lceil n/4 \rceil$の共線集合を持つ。これは、非自明な有界次数平面グラフクラスにおける最初の線形境界である。
• 任意の$n$頂点平面グラフについてtreewidthが$k$であるとき、サイズ$\Omega(k^2)$の共線集合が存在する。$k = \omega(n^{1/4})$のとき、一般の$\Omega(\sqrt{n})$の境界を改善する。
• 3-ツリーにおける共線頂点数の最大値は、6種類の外側面交差曲線のタイプに基づく動的計画法により、多項式時間で計算可能である。
• 実験的証拠から、任意の$n$頂点3-ツリーは、$\lceil(n+2)/3\rceil$個の共線内部頂点を持つ描画を有することが示唆され、$n \leq 50$ではこの境界がタイトである。
• これらの結果は、treewidthが3以下の平面グラフにおけるアンタングルメント、ユニバーサルポイント部分集合、およびカラム平面性について、漸近的にタイトな境界を示している。