[論文レビュー] DREAM, a program for arbitrary-precision computation of dimensional recurrence relations solutions, and its applications

Roman N. Lee, Kirill T. Mingulov|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

DREAM は、次元的再帰と解析性（DRA）法を用いて、任意精度の多ループ積分を計算する Mathematica パッケージであり、非三角行列系の次元的再帰関係の自動解法を実現する。ネストされた和の因子分解された被加法定義の高精度評価を可能にし、同次解の定義に向けたツールを提供することで、4光子へのパラポジトロニウムの崩壊断面積の初の解析的計算が達成された。

ABSTRACT

We present the Mathematica package DREAM for arbitrarily high precision computation of multiloop integrals within the DRA (Dimensional Recurrence & Analyticity) method as solutions of dimensional recurrence relations. Starting from these relations, the package automatically constructs the inhomogeneous solutions and reduces the manual efforts to setting proper homogeneous solutions. DREAM also provides means to define the homogeneous solutions of the higher-order recurrence relations (and can construct those of the first-order recurrence relations automatically). Therefore, this package can be used to apply the DRA method to the topologies with sectors having more than one master integral. Two nontrivial examples are presented: four-loop fully massive tadpole diagrams of cat-eye topology and three-loop cut diagrams which are necessary for computation of the width of the para-positronium decay into four photons. The analytical form of this width is obtained here for the first time to the best of our knowledge.

研究の動機と目的

• 多ループフェ Feynman 積分計算に生じる非三角行列系の次元的再帰関係の自動解法を実現すること。
• DRA 法における非同次および同次解の構築にかかる人的作業の削減。
• 収束加速技術を用いて、因子分解された被加法定義を持つネストされた和の高精度数値評価を可能にすること。
• 1 セクターあたり複数のマスタインテグラルを有するトポロジーへの DRA 法の適用範囲の拡張。
• 高エネルギー物理学コミュニティが複雑な多ループ振幅を解析的に計算できる、使いやすいツールの提供。

提案手法

• パッケージは、DRA フレームワークにおける再帰関係行列から、非同次解を自動的に構築する。
• 収束加速技術を適用して、因子分解された被加法定義を持つネストされた和を効率的に計算する。
• 高次再帰関係のためのユーザー定義同次解をサポートし、1次系の場合は自動構築を実施する。
• 被加法定義の因子分解構造を活用して、複数のネストされた和の多項式時間評価を可能にする。
• 整数関係検出に適した精度で結果が得られるように、PSLQ アルゴリズムと統合する。
• 三角行列および非三角行列再帰行列の両方を処理し、スカラー和系に限らない DRA 法の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非三角行列を有する多ループ積分に DRA 法を体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 因子分解された被加法定義を持つネストされた和の高精度値を効率的に計算する最良の方法は何か？
• RQ3 高次再帰関係の同次解を体系的に構築し、解法フレームワークに統合する方法は何か？
• RQ4 DRA 法を自動化することで、多ループ計算における人的介入を最小限に抑えることは可能か？
• RQ5 これまでに解けなかった図、例えば4ループ完全質量付きタドポールや3ループカット図に対して得られる解析的結果は何か？

主な発見

• DREAM パッケージを用いて、4光子へのパラポジトロニウム崩壊断面積の解析的形が初めて計算された。
• パッケージは、4ループ完全質量付きタドポール図（キャットアイトポロジー）を高精度で計算できた。
• d=4-2ε および d=3-2ε におけるマスタインテグラル比 T4, T5, T9, T10 がそれぞれ ε² 及び ε³ 項まで解析的に計算された。
• d=4-2ε における T4 及び T5 の結果は、以前に発表された数値的および解析的データと完全に一致した。
• SR2a = ∑₁/(6n+1)² 及び SR3b = ∑∑ 1/(6n+1)²(1/(6k+1) - 1/(6k+3)) のような特別な定数を高精度で計算可能となった。
• 収束加速および任意精度算術の使用により、PSLQ に基づく整数関係検出に適した結果が得られた。