[論文レビュー] Drift and entropy growth for random walks on groups

Anna Erschler-Dyubina|ArXiv.org|Jan 9, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、極めて遅い拡散とエントロピー成長を示すランダムウォークを有する群を構成する。具体的には、任意の $ k \geq 1 $ に対して、拡散 $ L(n) $ が漸近的に $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ に達し、エントロピー $ H(n) $ が同様に $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ に成長することを示し、群上のランダムウォークにおける拡散およびエントロピーの無限に多くの異なる非線形成長率が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we consider finitary symmetric random walks on groups. We construct new possible asymptotics for the drift. We show that the drift can be very close to linear ant yet sublinear. We also give estimates for entropy growth of these random walks. In particular, we prove that there exist infinitely many asymptotics of entropy.

研究の動機と目的

• 有限生成群上の対称ランダムウォークの拡散 $ L(n) $ が任意の多項式より遅いが $ \sqrt{n} $ より速い成長を示す群を構成すること。具体的には、任意の $ k \geq 1 $ に対して $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ の漸近的性質を達成すること。
• このようなランダムウォークにおける対応するエントロピー成長 $ H(n) $ を分析し、同じ非線形漸近的成長率を達成できることを示すこと。
• 有限生成群上のランダムウォークにおける拡散およびエントロピーの、無限に多くの異なる漸近的成長率が存在することを示すこと。
• 既知の線形的および $ \sqrt{n} $ 型の拡散成長の二分法を、再帰的対数反復を用いて中間の成長率を構成することで拡張すること。
• 語長の2次モーメントと球の体積成長を用いてエントロピーの鋭い境界を確立すること。

提案手法

• 群を $ \mathbb{Z} $ の繰り返しのワルフィング積を用いて構成し、ランダムウォークの成長を制御する再帰的構造を用いる。
• 2次元単純ランダムウォークに関する結果を応用し、局所時刻および範囲を推定する。ここで $ \mathbb{E}[R^{(n)}] \asymp n / \ln n $ であることに着目する。
• 大きな $ x $ に対して、$ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ の形の関数の凹性を示す補助的補題を用いることで、モーメント推定が可能になる。
• 2次元ランダムウォークの局所時刻 $ b_z^{(n)} $ に対して凹関数を適用し、$ \mathbb{E}[\sum_z f(b_z^{(n)})] $ の境界を導出し、拡散推定に繋げる。
• 不等式 $ H(n) \geq C \cdot \mathbb{E}[l^2(g)] / n - \ln n $ を用いてエントロピーを語長の2次モーメントと関連づけ、エントロピーの境界を導出する。
• 球の体積成長 $ v(n) $ を用いて $ H(n) \leq \ln v(n) $ を得る。これと拡散推定を組み合わせることで、エントロピーの漸近的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群上の対称ランダムウォークの拡散 $ L(n) $ は、$ \sqrt{n} $ と線形の間で厳密に中間の成長率を示すことができるか？ もしそうなら、その中間的成長率はどのようなものか？
• RQ2 このようなランダムウォークのエントロピー $ H(n) $ は非線形的ではあるが、線形に非常に近い成長を示すことができるか？ そのような成長率はどのようなものか？
• RQ3 任意の $ k \geq 1 $ に対して、拡散およびエントロピーが $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ に成長する群が存在するか？ これらの成長率は異なる漸近的挙動を示すか？
• RQ4 語長の2次モーメントの成長とランダムウォークのエントロピーの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 繰り返し対数関数の凹性特性を用いて、2次元ランダムウォークの局所時刻関数への関数的評価を鋭く導出できるか？

主な発見

• 構成された群上の対称ランダムウォークの拡散 $ L(n) $ は、任意の固定された $ k \geq 1 $ に対して、漸近的に $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ に達することを示し、新たな中間的成長率クラスを同定した。
• 同じランダムウォークのエントロピー $ H(n) $ も、漸近的に $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ に成長することを示し、拡散率と一致する。
• 各 $ k \geq 1 $ に対して、$ H_{G_k}(n) \asymp n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ を満たす群と対称ランダムウォークが存在し、エントロピー成長率が無限に多くの異なるものであることを示した。
• 語長の2次モーメントは $ \mathbb{E}[l^2(g)] \asymp n \cdot H(n) $ を満たし、エントロピー成長とウォークの広がりの度合いを結びつける。
• 拡散は $ L(n) \leq K \sqrt{n(\ln v(n) + \ln n)} $ を満たし、構成例では $ v(n) \asymp n \cdot \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ となる。これはエントロピー成長と一致する。
• この構成は、大きな $ x $ に対して $ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ の凹性に依存しており、微分の解析と再帰的対数構造の分析により証明されている。