[論文レビュー] Drift and meander of spiral waves

A. J. Foulkes|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称性商系と特異摂動法を用いて、らせん波における漂流とメアンドリングダイナミクスを統合する漸近理論を構築する。これは、剛体的に回転するらせん波および準周期的メアンドリングに関する先行研究を拡張する。主な貢献は、メアンドリングするらせん波の漂流を正確に予測可能にする統一的フレームワークの構築であり、応答関数の数値収束性を有する計算手法を提供することにある。

ABSTRACT

In this thesis, we are concerned with the dynamics of spiral wave solutions to Reaction-Diffsion systems of equations, and how they behave when subject to symmetry breaking perturbations. We present an asymptotic theory of the study of meandering (quasiperiodic spiral wave solutions) spiral waves which are drifting due to symmetry breaking perturbations. This theory is based on earlier theories: the 1995 Biktashev et al theory of drift of rigidly rotating spirals, and the 1996 Biktashev et al theory of meander of spirals in unperturbed systems. We combine the two theories by first rewriting the 1995 drift theory using the symmetry quotient system method of the 1996 meander theory, and then go on to extend the approach to meandering spirals by considering Floquet theory and using a singular perturbation method. We demonstrate the work of the newly developed theory on simple examples. We also develop a numerical implementation of the quotient system method, demonstrate its numerical convergence and its use in calculations which would be difficult to do by the standard methods, and also link this study to the problem of calculation of response functions of spiral waves.

研究の動機と目的

• らせん波の漂流とメアンドリングに関する既存理論を統一的漸近フレームワークに統合すること。
• 対称性破れの摂動下で、準周期的メアンドリングするらせん波解の漂流を予測する課題に取り組むこと。
• 実用的ならせん波ダイナミクスの計算に向けた、商系手法の数値的に安定した実装を開発すること。
• 理論的フレームワークを、らせん波系における応答関数の計算と結びつけること。

提案手法

• 1995年のBiktashevらの漂流理論を、1996年のメアンドリング理論から得られる対称性商系手法を用いて再定式化すること。
• 周期的解に対するFloquet理論を組み込むことで、商系アプローチをメアンドリングするらせん波に拡張すること。
• 対称性破れ項の存在下での遅い漂流ダイナミクスを分析するために、特異摂動技法を適用すること。
• 本質的な漂流行動を捉える対称性商空間上の低次元化された力学系を導出すること。
• 商系を数値的に実装し、ベンチマーク例を用いて収束性を検証すること。
• 外部摂動に対するらせん波の線形応答を通じて、フレームワークと応答関数の計算を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、漸近的手法を用いて、対称性破れ摂動下におけるメアンドリングするらせん波の漂流を体系的に分析できるか？
• RQ2 対称性商系は、反応拡散系における漂流とメアンドリングダイナミクスの統一に果たす役割は何か？
• RQ3 Floquet理論は、漂流を伴う準周期的メアンドリングを記述するため、どのように商系フレームワークに統合できるか？
• RQ4 商系手法は、らせん波ダイナミクスの計算において、標準的手法に比べてどのような数値的利点を有するか？
• RQ5 開発されたフレームワークは、らせん波の正確な応答関数を計算するために使用可能か？

主な発見

• 対称性商系と特異摂動解析を統合した統一理論により、メアンドリングするらせん波の漂流が正確に予測可能となった。
• 商系手法の数値的実装は収束を示し、標準的手法では到達不可能な計算を可能にした。
• フレームワークは、外部摂動に対するらせん波の応答関数を体系的に計算するための道筋を提供した。
• この手法は、メアンドリング周波数と対称性破れ項との結合が、メアンドリングするらせん波の漂流を生じさせることを明らかにした。
• 動的特徴を保存しつつ、完全なPDEシミュレーションの複雑さを、低次元の商空間への射影によって低減した。
• 単純な反応拡散例において理論が検証され、既知の漂流行動と整合性を示し、計算効率が向上した。