[論文レビュー] Drift parameter estimation for nonlinear stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion

Yaozhong Hu, David Nualart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ホルスト指数 $ H \in (\frac{1}{4}, 1) $ を持つ自己運動の分数 Browm 動的過程によって駆動される非線形ストークス微分方程式におけるドリフト係数の最小二乗推定量（LSE）の強い一貫性を確立する。片側発散的リプシッツ条件と連続観測のもとで、時間 $ T \to \infty $ のとき LSE はほとんど確実に真のパラメータに収束する。これはエルゴディシティとマリヤン・微積分を用いた、スコロホド積分に対する新規の最大不等式を活用することで達成される。

ABSTRACT

We derive the strong consistency of the least squares estimator for the drift coefficient of a fractional stochastic differential system. The drift coeffcient is one-sided dissipative Lipschitz and the driving noise is additive and fractional with Hurst parameter $H \in (\frac{1}{4}, 1)$. We assume that continuous observation is possible. The main tools are ergodic theorem and Malliavin calculus. As a by-product, we derive a maximum inequality for Skorohod integrals, which plays an important role to obtain the strong consistency of the least squares estimator.

研究の動機と目的

• 分数 Browm 動的過程によって駆動される非線形 SDE におけるドリフト係数の最小二乗推定量（LSE）のほとんど確実な収束を確立すること。
• 長-range 依存性を示す非マルコフ的かつ非セミマルティンゲール的設定へのパラメータ推定理論を拡張すること。
• スコロホド積分に対する最大不等式を新たに開発することを技術的キーツールとする。
• ドリフト係数の微小な正則性条件と連続観測のもとで一貫性を保証すること。

提案手法

• 積分された二乗予測誤差の最小化により LSE を導出し、実証的フィッシャー情報行列の逆行列を含む閉形式の表現を得る。
• 分数 Browm 動的過程の非セミマルティンゲール的性質を扱うためにスコロホド積分の定式化を用いる。
• 解過程の不変測度に対するエルゴディック定理を適用し、長期平均の保証を図る。
• マリヤン・微積分を用いてモーメント推定とスコロホド積分に対する新規の最大不等式を導出する。
• パスワイズ一意性とエルゴディシティを保証するため、ドリフト関数に片側発散的リプシッツ条件を課す。
• 解およびそのマリヤン微分のモーメントバウンドを、$ H $ に応じて $ \mathcal{C}^{1}_{p} $ または $ \mathcal{C}^{2}_{p} $ の正則性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm 動的過程によって駆動される非線形 SDE におけるドリフト係数の最小二乗推定量は、観測時間 $ T \to \infty $ のときほとんど確実に収束するか？
• RQ2 連続観測とドリフト関数の片側発散的リプシッツ条件のもとで、LSE の強い一貫性は確立可能か？
• RQ3 ホルスト指数 $ H \in (\frac{1}{4},1) $ を持つ fBm に対して、LSE の式における確率積分項を制御するために必要なモーメント不等式および最大不等式は何か？
• RQ4 ドリフト係数の正則性（$ \mathcal{C}^{1}_{p} $ または $ \mathcal{C}^{2}_{p} $）は、$ H $ に応じて証明にどのように影響を与えるか？
• RQ5 コンパクトなパrameter 空間上で LSE が一様に強い一貫性を示すための条件は何か？

主な発見

• 仮説 1.1 および $ f $ の適切な正則性のもとで、最小二乗推定量 $ \hat{\theta}_T $ は $ T \to \infty $ のとき真のパラメータ $ \theta $ にほとんど確実に収束する。
• 証明は、マリヤン・微積分を用いて導出されたスコロホド積分に対する新規の最大不等式に依存しており、これはモーメント制御に不可欠である。
• ホルスト指数 $ H \in (\frac{1}{2},1) $ の場合、ドリフト関数 $ f $ は $ \mathcal{C}^{1}_{p}(\mathbb{R}^m) $ に属する必要がある。$ H \in (\frac{1}{4},\frac{1}{2}) $ の場合、$ \mathcal{C}^{2}_{p}(\mathbb{R}^m) $ に属する必要がある。
• 不変測度 $ \nu $ は $ \mathbb{P}(\det(f^{tr}f)(\overline{X}) > 0) > 0 $ を満たし、これによりフィッシャー情報行列が法的に非退化であることが保証される。
• ボレル＝カンテーリーの定理とモーメント推定を用いて、$ T^{-1} \int_0^T f^{tr}(X_t) dX_t $ が $ \theta $ に収束することが示され、これにより $ \hat{\theta}_T \to \theta $ a.s. が成立する。
• パrameter $ \theta $ がコンパクト集合に含まれていて、かつ $ (f^{tr}f)^{-1} $ が一様に有界である限り、一様な強い一貫性が成立する。