[論文レビュー] Drinfeld Centers and Morita Equivalence Classes of Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、融合2カテゴリのドリンフェルト中心がモーライト同値に関して不変であることを確立し、任意の融合2カテゴリが連結なものとモーライト同値であり、強力な融合2カテゴリと逆元可能な融合2カテゴリの積ともモーライト同値であることを示している。さらに、すべての融合2カテゴリが分離可能であり、そのドリンフェルト中心が有限半単純2カテゴリであることを示し、任意の融合2カテゴリの次元が非ゼロであることを示している。

ABSTRACT

We prove that the Drinfeld center of a fusion 2-category is invariant under Morita equivalence. We go on to show that the concept of Morita equivalence between connected fusion 2-categories recovers exactly the notion of Witt equivalence between braided fusion 1-categories. A strongly fusion 2-category is a fusion 2-category whose braided fusion 1-category of endomorphisms of the monoidal unit is $\mathbf{Vect}$ or $\mathbf{SVect}$. We prove that every fusion 2-category is Morita equivalent to the 2-Deligne tensor product of a strongly fusion 2-category and an invertible fusion 2-category. We proceed to show that every fusion 2-category is Morita equivalent to a connected fusion 2-category. As a consequence, we find that every rigid algebra in a fusion 2-category is separable. This implies in particular that every fusion 2-category is separable. Conjecturally, separability ensures that a fusion 2-category is 4-dualizable. We define the dimension of a fusion 2-category, and prove that it is always non-zero. Finally, we show that the Drinfeld center of any fusion 2-category is a finite semisimple 2-category.

研究の動機と目的

• 融合2カテゴリのドリンフェルト中心がモーライト同値に関して不変であることを証明すること。
• 連結な融合2カテゴリのモーライト同値が、それらに付随する braided fusion 1カテゴリのウィット同値に対応することを示すこと。
• 任意の融合2カテゴリが連結な融合2カテゴリとモーライト同値であることを示すこと。
• 任意の融合2カテゴリが分離可能であり、そのドリンフェルト中心が有限半単純であることの確立。
• 融合2カテゴリの次元を定義し、それが非ゼロであることを証明すること。

提案手法

• 融合2カテゴリのモーライト理論を用い、[Déc21a, Déc21c, Déc23c, Déc23a] における先行研究に基づく。
• 2-デリーニュテンソル積の概念を適用して、融合2カテゴリを強力な融合2カテゴリと逆元可能な融合2カテゴリに分解する。
• 連結な融合2カテゴリの概念を用い、これは braided fusion 1カテゴリ上のモジュールカテゴリの2カテゴリに同値であるものとして定義される。
• 分離可能性の特徴づけとして、カテゴリとその反対カテゴリのテンソル積上の分離代数上のモジュールカテゴリとの双モジュール同値を用いる。
• [DSPS21] および [JFR23] の結果を活用して、高次カテゴリにおける分離可能性と双対性の関係を関係づける。
• 群コホホロジーと4次コホモロジー類を用いて、2ベクトル空間および braided fusion 1カテゴリから構成される融合2カテゴリのモーライト同値類を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融合2カテゴリのドリンフェルト中心はモーライト同値に関して不変か？
• RQ2 連結な融合2カテゴリのモーライト同値は、それらの基礎となる braided fusion 1カテゴリのウィット同値とどのように関係するか？
• RQ3 任意の融合2カテゴリは、モーライト同値の意味で、強力な融合2カテゴリと逆元可能な融合2カテゴリの積に分解可能か？
• RQ4 すべての融合2カテゴリは分離可能であり、これは4重双対性を意味するか？
• RQ5 融合2カテゴリの次元は何か？そして常に非ゼロか？

主な発見

• 融合2カテゴリのドリンフェルト中心はモーライト同値に関して不変であり、これは融合1カテゴリにおける結果の一般化である。
• 任意の融合2カテゴリは連結な融合2カテゴリとモーライト同値であり、これは任意の融合2カテゴリのドリンフェルト中心が有限半単純であることを示唆する。
• 融合2カテゴリ内の任意の剛性代数は分離可能であり、その結果、任意の融合2カテゴリは分離可能である。
• 任意の融合2カテゴリの次元は非ゼロであり、これはTQFTへの応用において重要な性質である。
• 融合2カテゴリのドリンフェルト中心は、ファクタライズブルな braided multifusion 2カテゴリである。これは、中心とその逆のテンソル積から中心の二重への自然な braided ファンクターが同値であることを意味する。
• 2ベクトル空間および braided fusion 1カテゴリから構成される融合2カテゴリのモーライト同値類は、群の同型および $H^4(G; ar{k}^ imes)$ 内のコホモロジー類によって分類され、外部自己同型の類別を経て得られる。