[論文レビュー] Drinfeld centers of fusion categories arising from generalized Haagerup subfactors

Pinhas Grossman, Masaki Izumi|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたHaagerup包含因子から生じる融合カテゴリのドリンフェルト中心のモジュラー・データを計算し、特に $4442$ 包含因子と関連するカテゴリに注目している。Cuntz代数フレームワークとチューブ代数技術を用いて、$S$行列および$T$行列の明示的公式を導出し、ドリンフェルト中心における単純対象の完全な集合を同定し、二次的モジュラーカテゴリの新たな無限族の存在を示唆する証拠を提供する。

ABSTRACT

We consider generalized Haagerup categories such that $1 \oplus X$ admits a $Q$-system for every non-invertible simple object $X$. We show that in such a category, the group of order two invertible objects has size at most four. We describe the simple objects of the Drinfeld center and give partial formulas for the modular data. We compute the remaining corner of the modular data for several examples and make conjectures about the general case. We also consider several types of equivariantizations and de-equivariantizations of generalized Haagerup categories and describe their Drinfeld centers. In particular, we compute the modular data for the Drinfeld centers of a number of examples of fusion categories arising in the classification of small-index subfactors: the Asaeda-Haagerup subfactor; the $3^{\Z_4} $ and $3^{\Z_2 imes \Z_2} $ subfactors; the $2D2$ subfactor; and the $4442$ subfactor. The results suggest the possibility of several new infinite families of quadratic categories. A description and generalization of the modular data associated to these families in terms of pairs of metric groups is taken up in the accompanying paper \cite{GI19_2}.

研究の動機と目的

• 一般化されたHaagerup包含因子から導かれる融合カテゴリのドリンフェルト中心の構造を特定すること。
• ドリンフェルト中心のモジュラー・データ（$S$行列および$T$行列）を、$4442$ 包含因子および関連カテゴリに対して計算すること。
• $1\oplus X$ が $Q$-システムを許容する一般化されたHaagerupカテゴリにおける可逆的対象の存在と分類を調査すること。
• 一般化されたHaagerupカテゴリおよびそのドリンフェルト中心の等化および非等化を探索すること。
• 明示的なモジュラー・データの計算を通じて、新たな二次的モジュラーテンソルカテゴリの無限族の存在を示唆すること。

提案手法

• 一般化されたHaagerupカテゴリを $\mathcal{O}_{|G|+1}$ の自己準同型を用いて実現するため、Cuntz $C^*$-代数フレームワークを利用する。
• チューブ代数形式的論法を用いて、半バーディングを計算し、ドリンフェルト中心における最小の中心的射影を同定する。
• $\mathbf{t}$-作用素の固有値解析を用いて、既約半バーディングを分類し、$T$-固有値を特定する。
• 単純対象のブロック的インデックス化を用いて、Verlindeの公式を用いて$S$-行列の明示的公式を導出する。
• $1\oplus X$ における $Q$-システム条​​件を用いて、一般化されたHaagerup包含因子を定義し、ユニタリティを保証する。
• 等化および非等化技術を適用して、異なる融合カテゴリおよびその中心を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたHaagerup包含因子から生じる融合カテゴリのドリンフェルト中心の構造は何か？ ただし、$1\oplus X$ が $Q$-システムを許容するものとする。
• RQ2 ドリンフェルト中心の $4442$ 包含因子および関連する融合カテゴリのモジュラー・データ（$S$行列および$T$行列）は何か？
• RQ3 $1\oplus X$ が $Q$-システムを許容する一般化されたHaagerupカテゴリにおいて、位数2の可逆的対象は最大でいくつ存在できるか？
• RQ4 同伴論文 [GI19] が示唆するように、これらの中心のモジュラー・データは、計量群のペアとして記述可能だろうか？
• RQ5 計算されたモジュラー・データは、新たな二次的モジュラーテンソルカテゴリの無限族の存在にどのような意味を持つだろうか？

主な発見

• 一般化されたHaagerupカテゴリにおいて、$1\oplus X$ が $Q$-システムを許容する場合、位数2の可逆的対象の群のサイズは最大で4つである。
• $4442$ 結合カテゴリのドリンフェルト中心には48個の単純対象があり、サイズが6, 2, 6, 2, 6, 2, 12, 12の8つのブロックに分類される。
• $4442$ 包含因子のドリンフェルト中心の$S$-行列は明示的に計算され、図7に示されており、$\omega$, $\zeta_5$, および $\pi/5$ の三角関数を含む項が含まれる。
• $T$-行列の固有値は $1, -1, \zeta_5^\varepsilon, \omega, \omega\zeta_5^{\varepsilon_1}$ であり、$\omega$ は単位根の立方根である。
• モジュラー・データの計算は、新たな無限族の二次的モジュラーテンソルカテゴリの存在について強い数値的証拠を提供する。
• Asaeda-Haagerup, $3^{\mathbb{Z}_4}$, $3^{\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2}$, および $2D2$ 包含因子の結果は、一般化されたHaagerupカテゴリおよびその中心を統一的に扱う枠組みと整合的である。