[論文レビュー] Drinfeld double of quantum groups, tilting modules and $\mathbb{Z}$-modular data associated to complex reflection groups

Abel Lacabanne|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

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ひとこと要約

本稿は、根数が1の単位根における量子群のドリンフェルト双対を用いて、巡回群 G および z ∈ G に対して z² = 1 を満たす場合の、Rep(G, z) に同値な対称的中心をもつ融合カテゴリを構成する。slₙ₊₁ を偶数次の根数で特殊化した場合、カテゴリ Z(Tξ) ⋊ S の対称的中心は n が偶数のとき Rep(ℤ/(n+1)ℤ) に、n が奇数のときは Rep(ℤ/(n+1)ℤ, (n+1)/2) に一致し、これによりマーレの複素反射群のフーリエ行列と一致する Z-モジュラー構造が得られる。

ABSTRACT

Generalizing Lusztig's work, Malle has associated to some imprimitive complex reflection group $W$ a set of "unipotent characters", which are in bijection of the usual unipotent characters of the associated finite reductive group if $W$ is a Weyl group. He also obtained a partition of these characters into families and associated to each family a $\mathbb{Z}$-modular datum. We construct a categorification of some of these data, by studying the category of tilting modules of the Drinfeld double of the quantum enveloping algebra of the Borel of a simple complex Lie algebra.

研究の動機と目的

• 複素反射群、特にスぺツィアルで非可約型の Z-モジュラー構造を、テンソルカテゴリを用いてカテゴライズ化すること。
• 非正の構造定数をもつ Z-代数をカテゴライズ化する課題に対処するため、スーパーカテゴリを導入すること。
• マーレの単純な特徴の表現から得られるモジュラー構造と、根数が1の単位根における量子群表現から生じる構造との間の関係を確立すること。
• 単純なリー代数に付随する量子群のドリンフェルト双対のカテゴリ Z(Tξ) ⋊ S の対称的中心を計算すること。
• A型および偶数次の根数の単位根に対して、得られるモジュラー構造がマーレのフーリエ行列と一致することを示すこと。

提案手法

• 複素単純リー代数 g のボレル部分代数のドリンフェルト双対 Dq(g) を構成する。
• Dq(g) を根数が1の単位根 ξ で特殊化し、ティルティング加群のフル部分カテゴリの半単純化を考察する。
• 整数的サブカテゴリの部分モジュラー化を実行し、G が巡回群で z² = 1 を満たす場合の Rep(G, z) に同値な対称的中心をもつカテゴリを得る。
• カテゴリ Z(Tξ) ⋊ S を、得られた融合カテゴリとして定義し、対称的中心をもつ。
• Z(Tξ) ⋊ S のグロテンディーク環からモジュラー構造（S行列およびT行列）を抽出し、マーレの Z-モジュラー構造と比較する。
• グロテンディーク群の構造定数が負である場合、スーパーカテゴリを用い、スーパーディメンジョンによるS行列の再正規化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素反射群に関連する Z-モジュラー構造は、根数が1の単位根における量子群表現を用いてカテゴライズ化可能か？
• RQ2 Uq(slₙ₊₁) のドリンフェルト双対のティルティング加群から得られる Z(Tξ) ⋊ S カテゴリの対称的中心は何か？
• RQ3 得られた融合カテゴリの S 行列および T 行列は、マーレの単純な特徴のフーリエ行列とどのように関係するか？
• RQ4 Z(Tξ) ⋊ S カテゴリがマーレの構成と一致する Z-モジュラー構造を与えるのはどのような場合か？
• RQ5 G₂₄（シェパード＝タッド型）のような例外的複素反射群は、B型に類似した構成を用いて同様にカテゴライズ化可能か？

主な発見

• g = slₙ₊₁ かつ ξ が偶数次の根数のとき、n が偶数であれば Z(Tξ) ⋊ S の対称的中心は Rep(ℤ/(n+1)ℤ) に一致する。
• n が奇数のとき、対称的中心は Rep(ℤ/(n+1)ℤ, (n+1)/2) に一致し、これはねじれ群代数カテゴリである。
• d ≥ n の場合、G(d,1,n(n+1)/2) の Z-モジュラー構造は、Z(Tξ) ⋊ S から得られる構造と一致する。
• G₂₄（シェパード＝タッド型）の場合は、スーパーフュージョンカテゴリ ÛC の S 行列および T 行列が、√−28 による再正規化の後、マーレのフーリエ行列およびフロベニウス固有値と一致する。
• カテゴリ ÛC の S 行列は、i√28（ここで i = ξ⁷）で正規化するとマーレの S 行列に一致し、T 行列は正確に一致する。
• この構成により、非単位元の対称的中心が次元 −1 およびねじれ 1 をもつ、やや退化したスーパーフュージョンカテゴリが得られる。