[論文レビュー] Drinfeld modular curves have many points

Lenny Taelman|ArXiv.org|Feb 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、素イデアルによるドリンフェルトモジュラー曲線の還元が、有限体上での有理点の数において漸近的に最適な数に達することを証明している。これは、古典的モジュラー曲線に対する伊原の結果を拡張するものである。ドリンフェルトモジュラー設定に伊原のトレース論法を適応させることで、$X_0(\mathfrak{n})$ を $\mathfrak{p}$ で還元した曲線が、$\mathbb{F}_{q^{2m}}$ 上で少なくとも $(q^m - 1)(g - 1)$ 個の有理点を持つことが示された。ここで $q^m$ は $\mathfrak{p}$ の残渣体の位数である。この結果により、多くの点を持つ曲線の明示的ツリーが構成される。

ABSTRACT

Ihara's proof that the reduction of the modular curve $X_0(n)$ at a prime $p$ not dividing $n$ has many points over a quadratic extension is adapted to the drinfeld modular curves $X_0(n)$. In order to do so, some properties of drinfeld modular varieties that have no proof in the literature are proven. The text is more or less self-contained.

研究の動機と目的

• ドリンフェルトモジュラー曲線の還元が、古典的モジュラー曲線に対する伊原の結果と同様に、有限体上での有理点数が漸近的に最適に達することを確立すること。
• 従来、モジュラー曲線に適用されてきた伊原のトレース論法を、文献に十分な基礎理論が整っていないドリンフェルトモジュラー曲線の文脈に拡張すること。
• 有限体上での genus が増加する曲線の明示的ツリーを構成し、漸近的に最大の点数を持つようにすることにより、多くの点を持つ曲線の新しい例を提供すること。
• 主結果を支えるために、レベル構造、モジュライ函手、コンパクト化を含むドリンフェルトモジュラー曲線の必要な理論を構築すること。

提案手法

• イソogeny とフロベニウスのねじれを用いて、$X_0(\mathfrak{n}\mathfrak{p})$ から $X_0(\mathfrak{n})$ への二つの写像を構成することで、ドリンフェルトモジュラー曲線に伊原のトレース法を適応する。
• $\mathfrak{p}$ での還元上でのフロベニウス自己準同型 $\tau^m$ の作用を用いて、$\Bbbk(\mathfrak{p})$ 上の積曲面 $X_0(\mathfrak{n}) \times X_0(\mathfrak{n})$ 上に対応 $\Pi \cup \Pi^t$ を定義する。
• $\mathbb{F}_{q^{2m}}$-有理点の集合を、$\tau^m \circ \tau^m$ による固定点に対応する $\Pi \cap \Pi^t$ と特定する。
• ハルウィッツの公式とオイラー・ポワンカーレ特性の計算を用いて、被覆曲線 $\tilde{T}$ の genus と $\Pi \cap \Pi^t$ 内の特別点の数との関係を導出し、それらが有理点と一対一対応することを示す。
• genus 公式 $g_0 - 1 = 2(g - 1) + \#\{\text{特別点}\}$ を用いて、有理点数が $(q^m - 1)(g - 1)$ で下から抑えられることを確立する。ここで $g$ は曲線の genus で、$q^m = |\Bbbk(\mathfrak{p})|$ である。
• モジュライ空間 $X_0(\mathfrak{n})$ が、ランク 2 のドリンフェルト $\mathbf{A}$-加群と $\Gamma_0(\mathfrak{n})$-レベル構造をパラメトライズすることを示し、その $\mathfrak{p}$ での還元が滑らかで幾何学的に既約であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伊原がモジュラー曲線の有理点数を評価するための方法を、ドリンフェルトモジュラー曲線へ拡張できるか。
• RQ2 素イデアルによるドリンフェルトモジュラー曲線の還元が、有限体上での有理点数に漸近的上限 $(\sqrt{q} - 1 + o(1))g$ を達成するか。
• RQ3 残渣体の位数が $q^m$ である素 $\mathfrak{p}$ に対する $X_0(\mathfrak{n})$ の還元における $\mathbb{F}_{q^{2m}}$-有理点の正確な数は何か。
• RQ4 レベル構造やイソogeny を含むドリンフェルトモジュラー曲線の幾何学的・算術的性質が、多くの点を持つ曲線の構成にどのように寄与するか。
• RQ5 オイラー・ポワンカーレ特性を用いた有理点数の数え上げにおいて、対応 $\Pi \cap \Pi^t$ 内の特別点が果たす役割は何か。

主な発見

• 素イデアル $\mathfrak{p}$ による $X_0(\mathfrak{n})$ の還元は、$\mathbb{F}_{q^{2m}}$ 上で少なくとも $(q^m - 1)(g - 1)$ 個の有理点を持つ。ここで $q^m = |\Bbbk(\mathfrak{p})|$ で、$g$ は曲線の genus である。
• 有理点数は $(q^m - 1)(g - 1)$ で下から抑えられ、$q^m$ が平方数のとき、ドリンフェルト＝フラダツ境界が予測する漸近的上限と一致する。
• 主な幾何的対象は、$X_0(\mathfrak{n}) \times X_0(\mathfrak{n})$ 上の対応 $\Pi \cup \Pi^t$ であり、$\tau^m \circ \tau^m$ による固定点が $\mathbb{F}_{q^{2m}}$-有理点に対応する。
• 被覆曲線 $\tilde{T}$ の genus は $g_0 - 1 = 2(g - 1) + \#\{\text{特別点}\}$ を満たし、この等式が有理点数の下界を導出するのに用いられる。
• ハルウィッツの公式への適用に不可欠であるのは、$T$ から $X_0(\mathfrak{n})$ への二つの射影の次数が $q^m + 1$ であることである。
• この構成により、$\mathbb{F}_{q^{2m}}$ 上で genus が増加する曲線のツリーが得られ、漸近的に最大の点数を持つ。これにより、最適な曲線の新しい明示的例が提供される。