[論文レビュー] Drinfeld realization of the elliptic Hall algebra

Olivier Schiffmann|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子アフィン代数のドリンフェルトの新実現に類似した、楕円的ホール代数のドリンフェルト型提示を提供する。ドリンフェルト双対の球的楕円的ホール代数は、2次関係と1組の3次関係によって支配されることを確立し、カプラノフのイーゼンスタイン級数関数方程式に関する問いに答え、フィーゲイン、フィーゲイン、ジムボ、ミワ、ムフキンによる最近の予想を検証する。

ABSTRACT

We give a new presentation of the Drinfeld double of the elliptic Hall algebra introduced in a previous work with I. Burban. This presentation is similar in spirit to Drinfeld's `new realization' of quantum affine algebras. This answers, in the case of elliptic curves, a question of Kapranov concerning functional relations satisfied by (principal, unramified) Eisenstein series for the groups GL(n) over a function field. It also provides proofs of some recent conjectures of Feigin, Feigin, Jimbo, Miwa and Mukhin.

研究の動機と目的

• 球的楕円的ホール代数のドリンフェルト双対のドリンフェルト型提示を提供すること。これは、ドリンフェルトの量子アフィン代数の新実現に類似する。
• 関数体上の楕円曲線を底曲線とするGL(n)に対する非分岐イーゼンスタイン級数が満たす関数的関係に関して、カプラノフの問いに答えること。
• 楕円的ホール代数が、標準的な2次関係と1組の3次関係を満たすドリンフェルト生成子によって生成可能であることを証明すること。
• フィーゲイン、フィーゲイン、ジムボ、ミワ、ムフキンによる、代数の構造および表現論に関する最近の予想を検証すること。

提案手法

• この手法は、先行研究[BS]で開発された、ℤ²における格子パスを用いた楕円的ホール代数の組合せ的実現に依存する。
• 証明はパスの次数に関する帰納法に従い、パスの最小性および関連する三角形内の内部格子点の不在を用いる。
• 代数はドリンフェルト生成子 𝕋₀⁺(z), 𝕋₀⁻(z), 𝕋₁(z), 𝕖₋₁(z) を用いて提示され、コプロダクトの式はこれらの生成子で表される。
• 関係式は、シャッフル代数の構造および代数がヒルベルトスキームのK理論に作用する様子を分析することで導出される。
• ある特定の交換子がイデアル J に関して 0 に等しいことを、帰納法と普遍代数からホール代数への写像の単射性を用いて証明する。
• コプロダクトの式を用いて、ホップ代数の構造を明示的に記述し、正部分と負部分がサブバイアルゲブラであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の楕円曲線を底曲線とするGL(n)に対する非分岐イーゼンスタイン級数は、どのような関数的関係に従うか？
• RQ2 球的楕円的ホール代数のドリンフェルト双対は、ドリンフェルトの量子アフィン代数の新実現に類似した形でどのように提示できるか？
• RQ3 本稿で導出された3次関係は、フィーゲイン、フィーゲイン、ジムボ、ミワ、ムフキンによる楕円的ホール代数の構造に関する予想を解消するか？
• RQ4 楕円的ホール代数に、ドリンフェルト実現と整合するホップ代数構造が存在するか？
• RQ5 SL(2,ℤ)-対称性は、ドリンフェルト提示におけるコプロダクトを考慮した際にも保たれるか？

主な発見

• 球的楕円的ホール代数のドリンフェルト双対は、定理4で述べられるように、標準的な2次関係と1組の追加の3次関係を満たすドリンフェルト生成子によって提示可能である。
• 証明により、代数がドリンフェルト実現の普遍包あ仮想代数と同型であることが確認され、その同型は格子パスモデルによって誘導される。
• ドリンフェルト実現におけるコプロダクトが明示的に計算され、正部分と負部分がサブバイアルゲブラであることが示された。
• SL(2,ℤ)-対称性はコプロダクトのレベルでは破れているが、ユニポテンツ部分群はホップ代数自己同型として作用する。
• 本結果により、[FFJMM1]における複数の予想が検証された。特に、楕円的ホール代数の代数的構造および表現論に関する予想が支持された。
• 代数が球的シェレドニク代数の安定極限と同型であり、ℂ²における点のヒルベルトスキームのK理論に作用することが示された。