[論文レビュー] Drinfeld's Lemma for Perfectoid Spaces and Overconvergence of Multivariate $(\phi, \Gamma)$-Modules

Annie Carter, Kiran S. Kedlaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、p進体の絶対ガロア群の積の連続的p進ガロア表現に対して、perfectoid空間とDrinfeldの補題の新形式を用いて、Fontaineの(ϕ, Γ)-加群理論の多変数一般化を確立する。このような表現と多変数形式の冪級数環上での射影的エタール(ϕ∆, Γ∆)-加群の間の同値を構成し、ガロアコホモロジーが多変数Herr複体のコホモロジーと同型であることを証明する。これは、perfectoid体における基底拡張とShapiroの補題を用いて、古典的結果を高ランク設定に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime, let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, and let $n$ be a positive integer. We construct equivalences of categories between continuous $p$-adic representations of the $n$-fold product of the absolute Galois group $G_K$ and $(φ, Γ)$-modules over one of several rings of $n$-variable power series. The case $n=1$ recovers the original construction of Fontaine and the subsequent refinement by Cherbonnier--Colmez; for general $n$, the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by the third author. To handle general $K$ uniformly, we use a form of Drinfeld's lemma on profinite fundamental groups of products of spaces in characteristic $p$, but for perfectoid spaces instead of schemes. We also construct the multivariate analogue of the Herr complex to compute Galois cohomology; the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by Pal and the third author, and we reduce to this case using a form of Shapiro's lemma.

研究の動機と目的

• p進体のガロア群の積のための多変数(ϕ, Γ)-加群の体系的理論を構築し、Fontaineの古典的理論を一般化すること。
• GK,∆の連続的p進表現の圏と、OE∆(K)、eOE∆(K)、O†E∆(K)、eO†E∆(K)などの多変数環上での射影的エタール(ϕ∆, Γ∆)-加群の圏との同値性を確立すること。
• ガロアコホモロジーを計算する多変数Herr複体の類似を構成し、基底拡張とShapiroの補題を用いて、それがガロアコホモロジーと同型であることを証明すること。
• 理論をQpの異なる有限拡大体のガロア群の積へ拡張し、下降法と環論的基底拡張を用いてK=Qpの場合と統一すること。

提案手法

• perfectoid空間におけるDrinfeldの補題の新形式を用い、特徴標数pにおけるperfectoid空間のエタール基本群を、特徴標数0におけるそれと関連づけ、古典的「体のノーム」同型を一般化する。
• 各因子に対応するFrobenius ϕαとガロア群ΓK,αの可換作用を持つ多変数形式の冪級数環（例：OE∆(K)）を構成する。
• 有限自由加群に可換な半線形作用ϕαとΓK,αを備え、ϕα∗が同型であるような射影的エタール(ϕ∆, Γ∆)-加群を定義する。
• 連続な(ϕ∆, Γ∆)-コチェーンの複体を用いて、多変数Herr複体を導入し、ガロアコホモロジーを計算する。
• 誘導加群に対するShapiroの補題を適用し、一般のKにおけるコホモロジー計算をK=Qpの場合に還元する。この際、群環拡張の忠実平坦性を用いる。
• Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]に沿った基底拡張を用い、最大の円分拡大から任意のKへのコホモロジー同型を降下する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元ガロア表現における古典的(ϕ, Γ)-加群同型は、p進体のガロア群の積へ一般化可能か？
• RQ2 元々正標数のスキームに対して定義されたDrinfeldの補題は、perfectoid空間の設定へどのように拡張可能か？
• RQ3 ガロアコホモロジーのHerr複体は多変数(ϕ, Γ)-加群へ拡張可能か？ そして、それがガロアコホモロジーと同型であるか？
• RQ4 ベース体がQpでない場合、(ϕ∆, Γ∆)-加群のコホモロジーは基底拡張と誘導の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 ϕαが全単射であるような環eOE∆(K)やeO†E∆(K)上の表現へ理論を拡張可能か？

主な発見

• GK,∆による有限自由Zp-加群上の連続的表現の圏は、自然にOE∆(K)、eOE∆(K)、O†E∆(K)、eO†E∆(K)上での射影的エタール(ϕ∆, Γ∆)-加群の圏と同値である。
• 有限次元Qp-ベクトル空間上の表現については、E∆(K)、eE∆(K)、E†∆(K)、eE†∆(K)上でも同値性が成り立つ。
• ガロアコホモロジーHi(GK,∆, ·)は、d = |∆|によるシフトを施した多変数Herr複体のコホモロジーhi−dΨ•(D(·))と同型である。
• ガロアコホモロジーと(ϕ∆, Γ∆)-コホモロジーの同型は、Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]の忠実平坦性を用いてK=Qpの場合から降下される。
• コホモロジー同型はZp-表現およびQp-表現の両方で成り立ち、基底拡張を用いてoverconvergent環O†E∆(K)およびE†∆(K)へも拡張可能である。
• 結果は、Qpの異なる有限拡大体のガロア群の積へも拡張可能であり、Shapiroの補題と誘導を用いて同様の同値性とコホモロジー同型が確立される。