[論文レビュー] Drinfeld-Sokolov hierarchies of type A and fourth order Painleve systems

Kenta Fuji, Takao Suzuki|ArXiv.org|Apr 22, 2009

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Weyl群 $W(A_n)$ の正則共役類に着目し、$A_{n}^{(1)}$ 型のDrinfeld-Sokolov階層から相似簡約を用いて、第四階のPainlevé系の新クラスを導出する。主な貢献は、Lax対の整合性条件から明示的に導かれたハミルトニアン系の構成であり、$A_5^{(1)}$ affine Weyl群対称性を有する、既知のPainlevé型を超える新しい可積分系を提供する。

ABSTRACT

We study the Drinfeld-Sokolov hierarchies of type A_n^{(1)} associated with the regular conjugacy classes of W(A_n). A class of fourth order Painleve systems is derived from them by similarity reductions.

研究の動機と目的

• Drinfeld-Sokolov階層 $A_{n}^{(1)}$ から第四階Painlevé型系を体系的に導出すること。
• 従来分類されていなかった、特に既知の $P_{\rm{II}}$ から $P_{\rm{VI}}$ シリーズを超える新しいPainlevé系を同定・構成すること。
• Lax対、affine Weyl群対称性、Schur多項式解といった可積分性の特徴の起源を、Drinfeld-Sokolov階層の枠組み内で確立すること。
• 特に分割 $(3,3)$ および $(2,2,1)$ のようなものにおいて、$W(A_n)$ の正則共役類がこれらの系を生成する役割を明らかにすること。

提案手法

• Heisenberg部分代数と関連する $\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1}$ に付随するDrinfeld-Sokolov階層を用い、$W(A_n)$ の正則共役類に対応する。
• 階層方程式に相似簡約を適用し、2変数の常微分系に還元する。
• $\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1}$ の基底を用いて、$M$ と $B$ の行列を明示的に構成し、$q_1, p_1, q_2, p_2$ および補助パラメータに関して有理関数として依存する。
• Lax対の整合性条件 $\partial_t M - \partial_x B + [M,B] = 0$ が導かれたハミルトニアン系を与える。
• Lax対のゲージ変換に由来する有理写像による変換 $q_i, p_i, \alpha_i$ に対する作用を通じて、$A_5^{(1)}$ 型のaffine Weyl群対称性が示される。
• 分割 $(3,1)$, $(4,1)$, $(2,2,1)$, $(3,3)$ に対して、ハミルトニアン $H_c$ の明示的表現が得られ、特に $(3,3)$ が新たな系をもたらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A_{n}^{(1)}$ 型のDrinfeld-Sokolov階層から、体系的に新しい第四階Painlevé系を導出可能か？
• RQ2 $A_5^{(1)}$ 階層における分割 $(3,3)$ から生じるハミルトニアン系の構造は何か？
• RQ3 導出系は $A_5^{(1)}$ 型のaffine Weyl群対称性を有するか？ また、$D_6^{(1)}$ 対称系 $\mathcal{H}^{D_6^{(1)}}$ と比較してどう異なるか？
• RQ4 Lax対の成分 $M$ と $B$ は系の力学および対称性をどのように記述するか？
• RQ5 この新系は、$\mathcal{H}^{D_6^{(1)}}$ を含む、既知のPainlevé系とは本質的に異なるか？

主な発見

• 相似簡約を用いて $A_5^{(1)}$ Drinfeld-Sokolov階層から新しい第四階Painlevé系が導出され、ハミルトニアン $t(t-1)H_c$ は2つの $H_{\rm{VI}}$ 項と非自明な結合項の和として与えられる。
• 系は $i=1,2$ に対して $\frac{dq_i}{dt} = \partial H_c / \partial p_i$, $\frac{dp_i}{dt} = -\partial H_c / \partial q_i$ として明示的なハミルトニアン系として表現され、$H_c$ はパラメータ $\alpha_0,\ldots,\alpha_5$ と変形パラメータ $\eta$ を含む。
• 系は $A_5^{(1)}$ 型のaffine Weyl群対称性を有し、$q_i, p_i, \alpha_i$ に作用する有理写像 $r_0,\ldots,r_5$ によって生成され、明示的な式が与えられている。
• Lax対の整合性条件により全系が得られ、$M$ と $B$ の行列は $q_1, p_1, q_2, p_2$ および補助関数 $\varphi_3, \varphi_{3,4}, w_3$ に有理的に依存する。
• 分割 $(3,3)$ の場合、$M$ と $B$ は $6 \times 6$ 行列であり、$q_1, p_1, q_2, p_2, w_3$ に関して有理関数として構成され、整合性条件により新系が再現される。
• 著者らは、分割 $(5,1)$ および $(2,2,2)$ がより高階の系をもたらす分析に基づき、タイプI階層からはこれ以上の第四階Painlevé系が生じないものと予想している。