[論文レビュー] dS/CFT and spacetime topology

Lars Andersson, Gregory J. Galloway|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 64

ひとこと要約

本稿は、エネルギー条件の下で、グローバルにハイパーボリックで漸近的にde Sitter型の時空の共形境界に、位相的および曲率的制約を確立する。被覆時空におけるペンローズ特異性定理を用いて、コンpaktoかつ可換な未来の共形境界で、基本群が有限で正のスカラー曲率をもつ場合、codimension-oneホモロジーが消えることを証明し、Cauchy面におけるワームホールの存在を排除する。結果は、AdS/CFTにインspiredされた位相的制約をde Sitter時空へと拡張し、dS/CFT対応の枠組みを支持する。

ABSTRACT

Motivated by recent proposals for a de Sitter version of the AdS/CFT correspondence, we give some topological restrictions on spacetimes of de Sitter type, i.e., spacetimes with $Λ>0$, which admit a regular past and/or future conformal boundary. For example we show that if $M^{n+1}$, $n \ge 2$, is a globally hyperbolic spacetime obeying suitable energy conditions, which is of de Sitter type, with a conformal boundary to both the past and future, then if one of these boundaries is compact, it must have finite fundamental group and its conformal class must contain a metric of positive scalar curvature. Our results are closely related to theorems of Witten and Yau hep-th/9910245 pertaining to the Euclidean formulation of the AdS/CFT correspondence.

研究の動機と目的

• 漸近的にde Sitter型の時空のボリューム幾何に、共形境界の曲率と位相が与える影響を調査すること。
• AdS/CFTで観察されるような位相的制約（ホモロジーの消滅や有限基本群）をde Sitterの場合へと拡張すること。
• グローバルにハイパーボリックで、コンパクトな共形境界をもつ漸近的にde Sitter型の時空が、強い位相的制約を満たす条件を確立すること。
• 境界の位相とボリューム特異構造および完全性を結びつける幾何的基盤を提供し、dS/CFT対応に寄与すること。

提案手法

• 正規の過去および未来の共形境界 I± をもつ、de Sitter型のグローバルにハイパーボリック時空を分析する。
• 共形境界の幾何と位相を制約するため、零エネルギー条件を適用する。
• 被覆時空におけるペンローズ特異性定理を用いて、位相的障害を導出する。
• Cauchy面 N から、基本群およびホモロジーを用いて、M∗ ≈ R × N∗ と表される被覆時空 M∗ を構成する。
• M∗ に過去の捕獲表面 Σ0 が存在することに依存し、Hn−1(N, Z) ≠ 0 であれば特異性定理が矛盾を引き起こす。
• 第二基本形式の関係式 Kab = t⁻¹ ˜Kab + gab を用いて、十分に小さい t に対してCauchy面が厳密に凸であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルにハイパーボリックで、零エネルギー条件を満たす漸近的にde Sitter型の時空が、未来に完全でない場合、共形境界にどのような条件が課されるか。
• RQ2 正規の未来の共形境界が存在する場合、de Sitter時空のCauchy面にどのような位相的制約が課されるか。
• RQ3 零エネルギー条件および過去の光線の完全性が満たされる下で、このような時空のCauchy面にワームホールに類似した構造が存在可能か。
• RQ4 共形境界 I+ の位相は、ボリューム時空のグローバル構造および完全性とどのように関係するか。
• RQ5 de Sitter時空における位相的制約は、AdS/CFT対応におけるそれらとどの程度類似しているか。

主な発見

• グローバルにハイパーボリックで、零エネルギー条件を満たす漸近的にde Sitter型の時空が、コンパクトかつ可換な未来の共形境界 I+ をもつならば、そのCauchy面はcodimension-oneホモロジーが消える、すなわち Hn−1(N, Z) = 0 である。
• このホモロジーの消滅は、Cauchy面が非自明な埋め込まれた最小超曲面を含めないことを意味し、時空内にワームホールが存在しないことを排除する。
• 共形境界が正のスカラー曲率をもち、時空が零エネルギー条件を満たす限り、Cauchy面の基本群は有限である。
• Hn−1(N, Z) ≠ 0 であれば、被覆時空 M∗ において過去の捕獲表面が存在し、ペンローズ特異性定理により矛盾が生じることに依存した証明である。
• 幾何的測度論における最小超曲面に関する結果の適用可能性により、次元 n+1 の時空（n ≤ 7）に対してこの結果が成り立つ。
• 分析により、共形境界の位相が、ボリュームのエネルギー条件および完全性によってきびしく制約されることを確認した。これは、ウィッテンとヨーのAdS/CFT結果と類似している。