[論文レビュー] Dual Bialgebroids for Depth Two Ring Extensions

Lars Kadison, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Aug 9, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、環拡大 $M|N$ における深さ2の一般化された概念を導入し、双対双代数的群（dual bialgebroids）を用いて、段階1と段階3の中心化子の間でモーリタ同値を確立する。段階2の中心化子から左および右の双代数的群 $A$ と $B$ を構成し、非退化なペアリングに依存せずにそれらが双対弱代数的群（dual weak bialgebras）であることを証明する。さらに、フロベニウス拡大の場合、$M|N$ の分離可能性は $A$ もしくは $B$ の $K$-分離可能性と同値であり、有限性およびフロベニウス条件が満たされれば $A$ は弱ホップ代数（weak Hopf algebra）に拡張される。

ABSTRACT

We introduce a general notion of depth two for ring homomorphism N --> M, and derive Morita equivalence of the step one and three centralizers, R = C_M(N) and C = End_{N-M}(M ø_N M), via dual bimodules and step two centralizers A = End_NM_N and B = (M ø_N M)^N, in a Jones tower above N --> M. Lu's bialgebroids End_k A' and A' ø_k {A'}^op over a k-algebra A' are generalized to left and right bialgebroids A and B with B the R-dual bialgebroid of A. We introduce Galois-type actions of A on M and B on End_NM when M_N is a balanced module. In the case of Frobenius extensions M | N, we prove an endomorphism ring theorem for depth two. Further in the case of irreducible extensions, we extend previous results on Hopf algebra and weak Hopf algebra actions in subfactor theory [Szymanski, Nikshych-Vainerman] and its generalizations [Kadison-Nikshych: RA/0107064, RA/0102010] by methods other than nondegenerate pairing. As a result, we have concrete expressions for the Hopf or weak Hopf algebra structures on the step two centralizers. Semisimplicity of B is equivalent to separability of the extension M | N. In the presence of depth two, we show that biseparable extensions are QF.

研究の動機と目的

• 任意の環拡大 $M|N$ に対して深さ2の概念を一般化し、サブファクター理論にとどまらず、一般の環拡大へ拡張すること。
• 双対加群と中心化子 $A$ と $B$ を用いて、段階1と段階3の中心化子 $R$ と $C$ 間のモーリタ同値を確立すること。
• 段階2の中心化子から左および右の双代数的群 $A$ と $B$ を構成し、非退化なペアリングに依存せずにそれらが双対弱代数的群であることを証明すること。
• フロベニウス深さ2拡大において、$M|N$ の分離可能性が、双代数的群 $A$ もしくは $B$ の $K$-分離可能性と同値であることを証明すること。
• 有限性およびフロベニウス条件が満たされれば、$A$ が弱ホップ代数に拡張されることを示し、サブファクター理論および量子群族理論の結果を一般化すること。

提案手法

• 環準同型 $N\to M$ に対する深さ2の一般定義を導入し、サブファクター理論からの概念を一般の環拡大へ拡張する。
• 段階1中心化子 $R = C_M(N)$、段階2中心化子 $A = \operatorname{End}_N M_N$ および $B = (M \otimes_N M)^N$、段階3中心化子 $C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$ を定義する。
• $B$ を $A$ の $R$-双対として、双対加群 $A$ と $B$ を用いて $R$ と $C$ 間のモーリタ同値を確立する。
• フロベニウスおよびバランスド加群条件を用いて、$A$ に $R$ 上の左双代数的群構造、$B$ に右双代数的群構造を定義する。
• フロベニウス準同型 $\phi$ を用いて、$\langle \cdot, \cdot \rangle: B \times A \to K$ としてペアリングを定義し、このペアリングの下で $A$ と $B$ が双対弱代数的群であることを証明する。
• 特に、$A$ に非退化な左積分（left integral）が存在すること（具体的にはフロベニウス準同型 $E$）を用いて、[43, Theorem 4.1] を適用し、$A$ が弱ホップ代数であることを証明する。双対的に、$B$ は $A$ の双対弱ホップ代数であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブファクター理論における深さ2の概念を、トレースや非退化なペアリングに依存せずに、任意の環拡大へ一般化することは可能か？
• RQ2 深さ2拡大の中心化子 $A$ と $B$ に直接的に双代数的群構造を構成する方法は何か？
• RQ3 $M|N$ の分離可能性と双代数的群 $A$ および $B$ の分離可能性との関係は何か？
• RQ4 どのような条件下で双代数的群 $A$ が弱ホップ代数に拡張されるか？
• RQ5 $A$ と $B$ 間の双対性は、既知の弱ホップ代数および量子群族理論の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 段階1中心化子 $R = C_M(N)$ と段階3中心化子 $C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$ は、双対加群 $A$ と $B$ を介してモーリタ同値である。
• ペアリング $\langle b, a \rangle = \phi(b^1 a(b^2))$ の下で、双代数的群 $A$ と $B$ は双対弱代数的群である。ここで $\phi$ はフロベニウス準同型である。
• フロベニウス深さ2拡大 $M|N$ において、中心化子 $R$ が分離可能であれば、$A$ が非退化な左積分を備えていれば、$A$ は弱ホップ代数である。この非退化な左積分はフロベニウス準同型 $E$ によって満たされる。
• 非退化な正規化された左積分が $A$ に存在することは、$A$ が $K$-分離可能であることを示し、逆に $A$ が $K$-分離可能であれば、$M|N$ はスプリットである。
• $M|N$ の分離可能性は $B$ の $K$-分離可能性と同値であり、$B$ は $A$ の双対弱ホップ代数に同型である。
• この構成は事前に非退化なペアリングを仮定せず、代わりに深さ2およびフロベニウス条件から直接的に双対性と双代数的群構造を導出する。