[論文レビュー] Dual Cheeger Constants, Signless 1-Laplacians and Maxcut

Sihong Shao, Chuan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2016

Graph theory and applications参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、グラフ上の符号なし1ラプラシアンを導入し、非線形スペクトル理論を確立する。ここで、双対チェーバー定数 $ h^+ $ が $ 1 - \mu_1^+ $ に等しいことを証明した。$ \mu_1^+ $ は符号なし1ラプラシアンの第一固有値である。本研究では、コーランのノードドメイン定理を拡張し、離散最適化と連続関数の最小化を結ぶセットペア・ロヴァーシュ拡張を構築した。これにより、マックスカット問題における再帰的スペクトルカットアルゴリズムのための効率的な逆べき乗法が可能になった。

ABSTRACT

The first nontrivial lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem was achieved via the dual Cheeger problem, whose optimal value is referred to the dual Cheeger constant $h^+$, and later improved through its modification $\widehat{h}^+$. However, the dual Cheeger problem and its modification themselves are relatively unexplored, especially lack of effective approximate algorithms. To this end, we first derive equivalent spectral formulations of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ within the framework of the nonlinear spectral theory of signless 1-Laplacian, present their interactions with the Laplacian matrix and 1-Laplacian, and then use them to develop an inverse power algorithm that leverages the local linearity of the objective functions involved. We prove that the inverse power algorithm monotonically converges to a ternary-valued eigenvector, and provide the approximate values of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ on G-set for the first time. The recursive spectral cut algorithm for the maxcut problem can be enhanced by integrating into the inverse power algorithms, leading to significantly improved approximate values on G-set. Finally, we show that the lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem within the recursive spectral cut framework can not be improved beyond $0.769$.

研究の動機と目的

• グラフ上の符号なし1ラプラシアンに対する古典的1ラプラシアン理論に類似した非線形スペクトル理論の構築。
• 双対チェーバー定数 $ h^+ $ と符号なし1ラプラシアンの第一固有値 $ \mu_1^+ $ の間の明確な関係の確立。
• 古典的コーランのノードドメイン定理を、符号なし1ラプラシアンに拡張し、ノードドメインの定義を変更する。
• 双対チェーバー問題の目的関数を捉えるセットペア関数のロヴァーシュ拡張の構築。
• $ h^+ $ を効率的に計算するための逆べき乗法の実装を可能にし、マックスカット問題における実用的な再帰的スペクトルカットアルゴリズムを支援。

提案手法

• グラフ関数上の符号なし1ラプラシアン関数 $ I^+(\mathbf{x}) = \sum_{u \sim v} |x_u + x_v| $ を、$ \ell^1 $ ノルムが1の関数に制限して定義する。
• $ \mu_1^+ = \inf_{\mathbf{x} \in X} I^+(\mathbf{x}) $ を証明し、ここで $ X $ は $ \ell^1 $ ノルムが1の球面を表す。また、$ \mu_1^+ = 0 $ であるための必要十分条件がグラフが二部グラフであることであることを示す。
• 離散的セットペア関数から連続関数への写像であるセットペア・ロヴァーシュ拡張を構築し、$ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ の回復を可能にする。
• 部分微分法を用いて $ I^+(\mathbf{x}) $ の局所的線形性を示し、これにより $ \mu_1^+ $ の効率的計算が可能な逆べき乗法を可能にする。
• 古典的コーランのノードドメイン定理を符号なし1ラプラシアンに適応するため、固有ベクトルの符号変化に基づくノードドメインの定義を変更する。
• 共面積公式とグラフ変換技術を用いて $ I^+(\mathbf{x}) $ の下界を導出し、$ \inf I^+(\mathbf{x}) \geq 1 - h^+(G) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対チェーバー定数 $ h^+ $ は、1ラプラシアンに類似した非線形スペクトル理論によって正確に特徴付けられるか？
• RQ2 第一固有値 $ \mu_1^+ = 1 - h^+ $ を満たすスペクトル的関数が存在するか？
• RQ3 ロヴァーシュ拡張は、双対チェーバー問題に現れるセットペア関数を扱えるように一般化できるか？
• RQ4 符号なし1ラプラシアン関数の局所的線形性は、$ h^+ $ の計算に実用的な逆べき乗法を可能にするか？
• RQ5 ノードドメインの定義を変更することで、コーランのノードドメイン定理は符号なし1ラプラシアンに拡張可能か？

主な発見

• 双対チェーバー定数 $ h^+ $ は $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ を満たし、ここで $ \mu_1^+ $ は符号なし1ラプラシアンの第一固有値である。これにより、双対チェーバー不等式が等式にまで精錬される。
• 第一固有値 $ \mu_1^+ = 0 $ であるための必要十分条件がグラフが二部グラフであることである。これにより、二部グラフのスペクトル的特徴づけが得られる。
• ノードドメインの定義を変更することで、コーランのノードドメイン定理は符号なし1ラプラシアンに拡張された。ノードドメインは固有ベクトルの符号構造に基づいて定義される。
• セットペア版のロヴァーシュ拡張が構築され、$ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ の関係を正確に回復可能となった。
• 関数 $ I^+(\mathbf{x}) $ は任意の方向において局所的に線形であるため、逆べき乗法により $ \mu_1^+ $ の効率的計算が可能となり、結果として $ h^+ $ の計算も可能になった。
• 逆べき乗法により、半定値計画法（SDP）を用いない効率的な実装が可能となり、コストが 1/2 より大きいことが保証されるマックスカット問題の再帰的スペクトルカットアルゴリズムが実現された。