[論文レビュー] Dual Lie Bialgebras of Witt and Virasoro Types

Guang’ai Song, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、片側ウィット代数、ウィット代数、バーチャロ代数における双対的リーバイ代数構造を、それらのコアルゲブラ構造の制限双対を構成することによって調査する。双対性とコバウンダリ三角形構造に基づく新しいアプローチを用い、パラメータ $n$, $k$, $ackepsilon$ に依存する明示的な括弧公式を持つ、空間 $ackepsilon[ackepsilon, ackepsilon^{-1}]$ 上の新しい無限次元リーアルゲブラを導出する。これは、リーバイ代数の文脈において以前に未知であった代数的構造を明らかにする。

ABSTRACT

Structures of dual Lie bialgebras on the one sided Witt algebra, the Witt algebra and the Virasoro algebra are investigated. As a result, we obtain some infinite dimensional Lie algebras.

研究の動機と目的

• 片側ウィット代数、ウィット代数、バーチャロ代数における双対リーバイ代数構造を調査すること。これらは有限次元ではなく、自己双対性を自らが持たない。
• 有限次元における古典的双対性とは対照的に、コバウンダリ三角形リーバイ代数を双対化しても、新たな同型でないリーアルゲブラが得られるかどうかを検討すること。
• ウィット型およびバーチャロ型の制限双対コアルゲブラを用いて、新しい無限次元リーアルゲブラを分類・構成すること。
• （両側）ウィット代数およびバーチャロ代数におけるコバウンダリ三角形リーバイ代数構造の分類という未解決問題を、それらの双対を分析することで解決すること。

提案手法

• 有限余次元部分空間上で消える関数を捉える制限双対空間 $\mathcal{L}^\circ$ を用いて、$\backepsilon[x]$ および $\backepsilon[x^{\pm 1}]$ の制限双対コアルゲブラを構成する。
• 元のリーバイ代数とその双対との間で非退化な双線形形式 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ を用いて定義される双対性ペアリングを適用し、リーブラケットとコブラケットの整合性を保証する。
• 古典的ヤン・バクスター方程式（CYBE）を満たす $r \in L \otimes L$ を用いたコバウンダリ構造 $\delta(x) = x \cdot r$ を用いて、三角形リーバイ代数を定義する。
• 元のコアルゲブラからの構造定数を含む $A_{ij}$ を用いて、$\mathcal{S} = \backepsilon[\backepsilon, \backepsilon^{-1}]$ 上の双対リーアルゲブラ括弧を $[\backepsilon^i, \backepsilon^j] = A_{ij} - A_{ji}$ の公式により導出する。
• パラメータ化された生成子 $X = \ell_0 x + \ell x^n$ および $Y = k_0 x^{2-n} + kx + k_1 x^n$ を用いて双対括弧を定義し、$\ell_0, k_0, k_1$ を $k, \ell, n$ の関数として表現する。
• 構造定数の明示的計算により括弧を検証し、定理 4.9 を得る。この定理は、双対リーアルゲブラ括弧の完全なパラメトリック公式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィット代数やバーチャロ代数のような無限次元代数におけるコバウンダリ三角形リーバイ代数の双対が、新たな同型でないリーアルゲブラ構造を生じるか。
• RQ2 片側ウィット代数の制限双対コアルゲブラの構造的性質は何か。有限次元双対の場合とはどのように異なるか。
• RQ3 バーチャロ代数上のリーバイ代数の双対がコバウンダリ三角形のままである条件は何か。
• RQ4 ウィット代数およびバーチャロ代数における双対リーバイ代数構造は、文献に既に分類済みでない新しい無限次元リーアルゲブラを生じるか。
• RQ5 パラメータ $n$, $k$, および $\ell$ は、$ackepsilon[ackepsilon, ackepsilon^{-1}]$ 上の括弧構造および得られるリーアルゲブラにどのように影響を与えるか。

主な発見

• 片側ウィット代数の双対リーバイ代数は、$n \in \backepsilon$, $n \neq 1$, および $k, \ell \in \backepsilon^*$ に依存するパラメータで定義される、$ackepsilon[\backepsilon, \backepsilon^{-1}]$ 上の新しい無限次元リーアルゲブラを生成する。この括弧は定理 4.9 で定義される。
• $i=1$, $j \neq 1, 2-n, n$ のとき、括弧 $[\backepsilon, \backepsilon^j]$ は $-k\delta_{j,2-n}\backepsilon^{2-n} - k\delta_{j,n}\backepsilon^n - \frac{k\ell}{2}(2n-j-1)\backepsilon^{j-n+1} + \frac{k}{2(n-1)^2\ell}(3-j-2n)\backepsilon^{j+n-1}$ で与えられる。
• $i=2-n$, $j \neq 1, 2-n, n$ のとき、括弧 $[\backepsilon^{2-n}, \backepsilon^j]$ は $-\frac{k\ell}{2}(n-1)\delta_{j,n}\backepsilon^{2-n} - \frac{k}{2}\delta_{j,n}\backepsilon + \frac{k(j-1)}{2(n-1)^2\ell}\backepsilon^j + \frac{k(2n-j-1)}{2(n-1)}\backepsilon^{j-n+1}$ で与えられる。
• $i=n$, $j \neq 1, 2-n, n$ のとき、括弧 $[\backepsilon^n, \backepsilon^j]$ は $\frac{k(2n+j-3)}{2(n-1)}\backepsilon^{j+n-1} + \frac{k\ell}{2}(1-j)\backepsilon^j$ で与えられ、$j$ および $n$ に非自明に依存する。
• $ackepsilon[ackepsilon, ackepsilon^{-1}]$ 上の得られたリーアルゲブラは、定理 4.10 によって確認されるように、標準的なウィット代数やバーチャロ代数とは同型でない。
• この構成により、無限次元リーバイ代数を双対化することで、有限次元双対では新たな構造が得られない場合でも、新たなリーアルゲブラが得られることを確認した。