[論文レビュー] Dual-mapping and quantum criticality in off-diagonal Aubry-André models

Tong Liu, Xu Xia|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2021

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Su-Schrieffer-Heeger鎖における非対角的準周期的 hopping モデルを調査し、縮重度 $\lambda$ と準周期的変調強度 $V$ の間で一般化された双対写像対称性が存在することを明らかにした。数値的および準解析的手法を用いて、特定の変調条件下では、非エルゴード的拡散（多スケール的）状態を特徴とする広範な量子臨界領域が出現することを示した。これは、標準的な対角的 Aubry-Andr\'e モデルとは対照的であり、臨界性が単一の点に限局しているのに対し、本モデルでは臨界領域が広がっている。

ABSTRACT

We study a class of off-diagonal quasiperiodic hopping models described by one-dimensional Su-Schrieffer-Heeger chain with quasiperiodic modulations. We unveil a general dual-mapping relation in parameter space of the dimerization strength $λ$ and the quasiperiodic modulation strength $V$, regardless of the specific details of the quasiperiodic modulation. Moreover, we demonstrated semi-analytically and numerically that under the specific quasiperiodic modulation, quantum criticality can emerge and persist in a wide parameter space. These unusual properties provides a distinctive paradigm compared with the diagonal quasiperiodic systems.

研究の動機と目的

• 1次元の Su-Schrieffer-Heeger 鏈における非対角的準周期的 hopping モデルの局在性特性を調査すること。
• 縮重度 $\\lambda$ と準周期的変調強度 $V$ のパラメータ空間における一般化された双対写像対称性を同定すること。
• 多スケール的で非エルゴード的拡散状態を特徴とする量子臨界性が、単一の臨界点を越えて広範な領域にわたって出現・維持可能かどうかを調査すること。
• 非対角的準周期的モデルの局在性挙動を、Aubry-Andr\'e モデルのような従来の対角的準周期的系と対比すること。

提案手法

• 1次元の SSH 鏈に準周期的非対角的 hopping 変調を導入したハミルトニアンを定式化。パラメータは $\lambda$（縮重度）と $V$（変調強度）で表される。
• 2種類の異なる準周期的変調シーケンスを導入：モデル I は $\{V_{n-1}, V_n, V_n, V_n\}$、モデル II は $\{V_{2n-2}, V_{2n-1}, V_{2n-1}, V_{2n}\}$ を想定。
• 局在化状態の数値分類に逆参加比（IPR）を用いる：拡散状態（$\text{IPR} \sim 1/L$）、局在状態（$\text{IPR} \sim 1$）、臨界状態（$\text{IPR} \sim L^{-\beta}$ かつ $0 < \beta < 1$）。
• 局所確率 $P_n \sim (1/F_m)^{\beta_n}$ から得られるスケーリング指数 $\beta_{\min}$ を用いた多スケール解析を実施。$\beta_{\min} \in (0,1)$ は臨界状態を示す。
• 有限サイズ効果を最小限に抑えるために、システムサイズとしてフィボナッチ数列 $F_m$ を用い、すべての固有状態の平均値として $\beta_{\min}$ を計算。
• パラメータ空間における自己写像領域を特定。$\lambda$ と $V$ が対称性関係を満たす領域では、臨界性が持続的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対角的準周期的 SSH モデルの $\lambda$ と $V$ のパラメータ空間において、特定の準周期的シーケンスに依存しない双対写像対称性が存在するか？
• RQ2 非対角的準周期的モデルでは、対角的モデルとは異なり、点状の臨界性ではなく、非エルゴード的拡散状態を有する広範な量子臨界領域が出現可能か？
• RQ3 異なる $\lambda$ と $V$ 値における多スケールスケーリング指数 $\beta_{\min}$ は熱力学的極限でどのように振る舞い、固有状態の性質を何を明らかにするか？
• RQ4 具体的な準周期的変調パターン（例：モデル I と モデル II）が、臨界状態の安定化に果たす役割は何か？

主な発見

• 非対角的準周期的 SSH モデルの $\lambda$-$V$ パラメータ空間において、一般化された双対写像対称性が確立された。これは、特定の準周期的変調シーケンスに依存しない。
• モデル II において、$\lambda_c = 1$, $V_c = 1$ の周辺に広範な量子臨界領域が出現し、臨界状態が $\lambda$ と $V$ の広い範囲にわたり持続的であることが判明。これは、単一の点に限局しているのとは対照的である。
• 数値解析により、拡散状態（例：$\lambda=0.5, V=0.2$）では $\beta_{\min}$ が熱力学的極限で漸近的に 1 に近づくのに対し、臨界状態（例：$\lambda=0.5, V=1$ または $V=5$）では $ (0,1) $ の範囲に留まることが示された。
• 自己写像領域における波動関数は明確な自己相似構造を示し、臨界性が確認された。一方、拡散状態では空間的に一様な分布を示した。
• 臨界状態は強く安定しており、$L = F_m = 4181$ の大規模系でも持続的であり、フィボナッチ数列を用いることで有限サイズ効果が最小限に抑えられた。
• 本研究により、パラダイムシフトが明らかになった：非対角的準周期的モデルでは、非エルゴード的拡散状態が広いパラメータ領域にわたって存在可能である。これは、対角的 Aubry-Andr\'e モデルとは対照的であり、臨界性が単一の点に限局している。