[論文レビュー] Dual mixed volumes and isosystolic inequalities

Juan Carlos Álvarez Paiva|ArXiv.org|Aug 30, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は余接 bundle 内の星体に対する双対混合体積を拡張し、その枠組みを用いて Finsler 計量およびハミルトニアン系に対する等サイクリック不等式を確立する。相対的不変量 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)$ を導入し、Holmes-Thompson 体積およびサイクリック不変量を活用することで、$\frac{\mathrm{sys}_k(M,L)^n}{\mathrm{sys}_k(M,L_0)^n} \leq \tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$ を証明し、Pu の定理および Berger の定理を Finsler 幾何学およびハミルトニアン力学へ一般化する。

ABSTRACT

The theory of dual mixed volumes is extended to star bodies in cotangent bundles and is used to prove several isosystolic inequalities for Hamiltonian systems and Finsler metrics.

研究の動機と目的

• \mathbb{R}P^n 上のリーマン計量に対する Pu の鋭い等サイクリック不等式を Finsler 計量へ一般化すること。
• ハミルトニアン系を用いて、Berger の無限小等サイクリック不等式を Finsler 計量へ拡張すること。
• サイクリックおよび体積不変量を分析するために、余接 bundle 内の星体に対する双対混合体積理論を構築すること。
• 周期的測地線フローを用いて、\mathbb{R}P^2 に対する一様化予想の Finsler 版を確立すること。
• 平均化技術を用いて、共形および可換ハミルトニアン条件の下での等サイクリック不等式を証明すること。

提案手法

• コンパクトな $n$-次元多様体 $M$ 上の Finsler 計量の対に対して、余接 bundle 上の双対混合体積理論を用いて、双対混合体積 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)$ を定義する。
• Finsler 幾何学において自然なハミルトニアン的観点から、Holmes-Thompson 体積を体積測度として用いる。
• 不等式 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$ を確立し、等号成立は $L$ が $L_0$ の定数倍である場合に限ることを示す。
• 三つの仮定群（不変計量への共形性、周期的測地線フロー、可換フロー）の下で、$\tilde{W}_k(M;L,L_0) \geq \frac{\mathrm{sys}_k(M,L)}{\mathrm{sys}_k(M,L_0)}$ を証明する。
• ハミルトニアン平均化技術を用いて、$t=0$ において $L_t$ と1次まで一致するような計量の経路 $K_t$ を構成し、等サイクリック不等式を満たすようにする。
• もし $H_0$ が周期的フローを持つならば、任意の1次同次な $H$ は $E + \{H_0, F\}$ と書けることが示され、摂動の制御が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pu の等サイクリック不等式が $\mathbb{R}P^2$ に対して Finsler 計量へ拡張可能か。
• RQ2 $\mathbb{R}P^n$ 上の Finsler 計量 $L$ に対して、不等式 $\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$ が成り立つ条件は何か。
• RQ3 周期的測地線フローと可換ハミルトニアンが等サイクリック不等式の導出に果たす役割は何か。
• RQ4 ハミルトニアン平均化技術を用いて、Berger の無限小等サイクリック不等式を Finsler 計量へ一般化可能か。
• RQ5 $\mathbb{R}P^2$ に対して、任意の可逆 Finsler 計量が周期的測地線フローを持つ計量に共形的であるという Finsler 版の一様化定理は存在するか。

主な発見

• Finsler 計量 $L$ が不変計量 $L_0$ に共形的である場合、$\mathbb{R}P^n$ 上で不等式 $\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$ が成り立ち、Pu の定理を一般化する。
• $\mathbb{R}P^n$ に対して、$L_0$ が周期的測地線フローを持ち、$L$ がハミルトニアン的意味で $L_0$ と可換である場合、$\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$ が成り立つ。
• $SO(3)$ 上の Finsler 計量 $L$ が左不変計量に共形的である場合、$\frac{\mathrm{sys}_1^3(SO(3),L)}{\mathrm{vol}(SO(3),L)} \leq \pi$ が成り立ち、等号成立は $L$ が双不変計量である場合に限る。
• 任意の $\mathbb{R}P^n$ 上の Finsler 計量の滑らかな経路 $L_t$ に対して、$L_0$ が周期的測地線フローを持つならば、$t=0$ において $L_t$ と1次まで一致するような経路 $K_t$ が存在し、$\frac{\mathrm{sys}_1^n({\mathbb{R}}P^n,K_t)}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}P^n,K_t)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n({\mathbb{R}}P^n,L_0)}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}P^n,L_0)}$ を満たす。これは Berger の結果を拡張する。
• $\tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$ が成り立ち、等号成立は $L$ が $L_0$ の定数倍である場合に限る。
• 任意の可逆 Finsler 計量が周期的測地線フローを持つ計量に共形的であるという予想が成り立つならば、Ivanov の結果により、Finsler 版の Pu の定理が導かれる。