[論文レビュー] Dual Parameterization of Weighted Coloring

Júlio Aráujo, Víctor Campos+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、重み付き彩色問題の二重パラメータ化を導入し、重み付き彩色数 σ(G, w) が総重量からパラメータ k を引いた値以下であるかどうかを判定する問題を提示する。9^k · n^O(1) 時間で動作する FPT アルゴリズム、(2k−1 + 1)(k−1) 頂点以内のカーネル、区間グラフおよび特定のスプリットグラフにおける多項式カーネルを提示する一方で、一般のスプリットグラフでは多項式カーネルが存在しないことが、NP ⊆ coNP/poly でない限り示されている。

ABSTRACT

Given a graph $G$, a proper $k$-coloring of $G$ is a partition $c = (S_i)_{i\in [1,k]}$ of $V(G)$ into $k$ stable sets $S_1,\ldots, S_{k}$. Given a weight function $w: V(G) o \mathbb{R}^+$, the weight of a color $S_i$ is defined as $w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$ and the weight of a coloring $c$ as $w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$. Guan and Zhu [Inf. Process. Lett., 1997] defined the weighted chromatic number of a pair $(G,w)$, denoted by $\sigma(G,w)$, as the minimum weight of a proper coloring of $G$. The problem of determining $\sigma(G,w)$ has received considerable attention during the last years, and has been proved to be notoriously hard: for instance, it is NP-hard on split graphs, unsolvable on $n$-vertex trees in time $n^{o(\log n)}$ unless the ETH fails, and W[1]-hard on forests parameterized by the size of a largest tree. In this article we provide some positive results for the problem, by considering its so-called dual parameterization: given a vertex-weighted graph $(G,w)$ and an integer $k$, the question is whether $\sigma(G,w) \leq \sum_{v \in V(G)} w(v) - k$. We prove that this problem is FPT by providing an algorithm running in time $9^k \cdot n^{O(1)}$, and it is easy to see that no algorithm in time $2^{o(k)} \cdot n^{O(1)}$ exists under the ETH. On the other hand, we present a kernel with at most $(2^{k-1}+1) (k-1)$ vertices, and we rule out the existence of polynomial kernels unless ${\sf NP} \subseteq {\sf coNP} / {\sf poly}$, even on split graphs with only two different weights. Finally, we identify some classes of graphs on which the problem admits a polynomial kernel, in particular interval graphs and subclasses of split graphs, and in the latter case we present lower bounds on the degrees of the polynomials.

研究の動機と目的

• 重み付き彩色問題の計算困難性を二重パラメータ化によって扱うことを目的とする。
• 頂点重み付きグラフ (G, w) と整数 k に対して、σ(G, w) ≤ Σw(v) − k であるかどうかを特定するパラメータ化複雑性を調査すること。
• 問題が多項式カーネルを許容するグラフクラスを特定し、カーネルサイズのタイトな下界を確立すること。
• 標準的な複雑性仮定の下で、包括的な複雑性解析を提供すること。これには FPT アルゴリズムとカーネル化の限界が含まれる。

提案手法

• パラメータ k が総頂点重みからの不足分を測る二重パラメータ化を提案する。
• 有界な探索と色クラス分解を用いた FPT アルゴリズムを設計し、9^k · n^O(1) 時間で実行する。
• 最大クリークと色クラスに基づく削減規則を用いて、(2k−1 + 1)(k−1) 頂点以内にグラフを縮小するカーネル化アルゴリズムを開発する。
• 区間グラフおよびスプリットグラフに対して、クリーク・安定集合構造を活用した構造的グラフ分解技術を適用する。
• Set Cover および d-Set Cover からの還元を用いてカーネル下界を証明し、NP ⊆ coNP/poly の仮定に依存する。
• 理論的限界に達する明示的構成を用いてカーネル境界のタイトさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き彩色問題は、二重パラメータ化の下で固定パラメータ tractable にできるか？
• RQ2 区間グラフおよびスプリットグラフにおける重み付き彩色の二重パラメータ化の最適なカーネルサイズは何か？
• RQ3 密度の高いグラフクラス（例えばスプリットグラフや区間グラフ）において、二重パラメータ化は多項式カーネルを許容するか？
• RQ4 FPT アルゴリズムの実行時間は改善可能か？また、指数時間仮説の下での限界は何か？
• RQ5 特にスプリットグラフにおいて、この問題のカーネル化に本質的な制限は存在するか？

主な発見

• 二重重み付き彩色問題は 9^k · n^O(1) 時間で実行可能な FPT アルゴリズムを有し、ETH が成立しない限り 2^o(k) · n^O(1) 時間で実行可能なアルゴリズムは存在しない。
• (2k−1 + 1)(k−1) 頂点以内のカーネルが存在し、これは明示的なグラフ構成によってタイトであることが示された。
• 区間グラフでは多項式カーネルが存在し、サイズ O(k^3) の立方体カーネルが得られ、この境界はタイトである。
• 各クリーク頂点が安定集合内で高々 d 個の非隣接頂点を持つスプリットグラフでは、サイズ O(k^d) のカーネルが存在するが、サイズ O(k^{d−3/2−ε}) のカーネルは存在しない（NP ⊆ coNP/poly でない限り）。
• 一般のスプリットグラフでは、たとえ重みが2種類しかない場合でも、多項式カーネルは存在しない（NP ⊆ coNP/poly でない限り）。
• カーネルサイズの境界はタイトであり、理論的限界に達する構成が存在し、カーネル化規則によるさらなる縮小が不可能であることが示された。