[論文レビュー] Dual properties and joint spectra for solvable Lie algebras of operators

Enrico Boasso|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間上の可解リー代数への作用に関して、Słodkowski の結合スペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ を拡張し、それらがコンパクトで空でないことを証明するとともに、イデアルに対する射影性を満たす。可解リー代数 $ L $ がバナッハ空間 $ E $ に作用するとき、結合スペクトル $ \sigma_{\delta,k}(L,E) $ とその双対 $ \sigma_{\pi,k}(L^*,E^*) $ の間に、随伴表現のトレースによって定まる定数項のずれを伴う双対スペクトル的関係が成り立つ。ネーター的の場合、このずれは消え、スペクトル間に対称性が現れる。

ABSTRACT

Given $L$ a solvable Lie Algebra of operators acting on a Banach space $E$, we study the action of the opposite algebra of $L$, $L'$, on $E^*$. Moreover, we extend Słodkowski joint spectra, $σ_{δ,k}$, $σ_{π,k}$, and we study its usual spectral properties.

研究の動機と目的

• バナッハ空間上の作用をもつ有限次元複素可解リー代数に対して、Słodkowski の結合スペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ を拡張すること。
• 可解リー代数 $ L $ が $ E $ に作用するときの結合スペクトル $ \mathrm{Sp}(L,E) $ と、その双対代数 $ L^* $ が双対空間 $ E^* $ に作用するときのスペクトル $ \mathrm{Sp}(L^*,E^*) $ の間に成り立つ双対性を調査すること。
• 関係 $ \mathrm{Sp}(L,E) = \mathrm{Sp}(L^*,E^*) + c $ における定数項 $ c $ を特徴づけ、$ L $ がネーター的である場合には $ c = 0 $ であることを示すこと。
• 拡張されたスペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ が、コンパクト性、非空性、イデアルに対する射影性といった主要なスペクトル的性質を保つことを確認すること。

提案手法

• 論文は、線形汎関数 $ f \in L^* $ に依存する微分 $ d(f) $ を持つ複体 $ (E \otimes \wedge L, d(f)) $ を用いたホモロジー的アプローチを採用し、結合スペクトル $ \mathrm{Sp}(L,E) $ を、ホモロジーが非自明となるような $ f \in L^{2^\perp} $ の集合として定義する。
• 双対代数 $ L^* $ を導入し、双対リー括弧積を備えて $ E^* $ に作用させ、$ \mathrm{Sp}(L,E) $ と $ \mathrm{Sp}(L^*,E^*) $ の間のスペクトル的関係を分析。$ \mathrm{Sp}(L,E) = \mathrm{Sp}(L^*,E^*) + c $ となる定数 $ c $ が存在することを証明する。
• Słodkowski スペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ の拡張は、複体の解析的パラメトライゼーションの適応と、ホモロジーの長完全系列における接続写像の利用によって行われ、スペクトル的性質を導出する。
• 定数 $ c $ は、リー代数 $ L $ の基底要素 $ x_i $ の随伴作用に由来する双対表現 $ \tilde{\theta}(x_i) $ のトレースのベクトルとして特徴づけられ、$ L $ がネーター的である場合にはこの値が 0 に等しくなることを示す。
• 証明は、余次元1のイデアルによるリー代数の帰納的分解と、外代数 $ \wedge L $ 上への $ \mathrm{ad}(x_n) $ の拡張である導分 $ \theta(x_n) $ の使用に依存する。
• コンパクト性、非空性、イデアルに対する射影性といったスペクトル的性質は、関数解析学およびホモロジー代数学の結果、特に [5] および [2] の技法をバナッハ空間のパラメータ付き複体に適用することで確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Słodkowski の結合スペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ が、バナッハ空間上の可解リー代数に拡張された場合、どのような性質を示すか？
• RQ2 可解リー代数 $ L $ が $ E $ に作用するときの結合スペクトル $ \mathrm{Sp}(L,E) $ と、その双対代数 $ L^* $ が双対空間 $ E^* $ に作用するときのスペクトル $ \mathrm{Sp}(L^*,E^*) $ の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 関係 $ \mathrm{Sp}(L,E) = \mathrm{Sp}(L^*,E^*) + c $ における定数項 $ c $ を、リー代数の構造に基づいて明示的に特徴づけられるか？
• RQ4 双対スペクトル $ \sigma_{\delta,k}(L,E) $ と $ \sigma_{\pi,k}(L^*,E^*) $ の間には、トレースに基づく補正項を伴う双対性が成り立つか？また、ネーター的の場合にはこの関係はどのように単純化されるか？
• RQ5 拡張されたスペクトル $ \sigma_{\delta,k} $ および $ \sigma_{\pi,k} $ は、コンパクト性、非空性、イデアルに対する射影性といった標準的スペクトル的性質を保持するか？

主な発見

• 拡張されたSłodkowskiスペクトル $ \sigma_{\delta,k}(L,E) $ および $ \sigma_{\pi,k}(L,E) $ は、$ L^* $ のコンパクトかつ空でない部分集合であり、可解リー代数への一般化として古典的結合スペクトルを拡張する。
• イデアルに対する射影性が成り立つ：$ \sigma_{\delta,k}(I,E) = \pi(\sigma_{\delta,k}(L,E)) $ および $ \sigma_{\pi,k}(I,E) = \pi(\sigma_{\pi,k}(L,E)) $ が成り立ち、ここで $ \pi $ は $ L^* $ から $ I^* $ への射影である。
• 双対スペクトルは、$ \sigma_{\delta,k}(L,E) + (\mathrm{trace}\, \tilde{\theta}(x_1), \dots, \mathrm{trace}\, \tilde{\theta}(x_n)) = \sigma_{\pi,k}(L^*,E^*) $ を満たし、明確な平行移動則を確立する。
• ネーター的の場合、ずれ定数 $ c $ は消えるため、$ \mathrm{Sp}(L,E) = \mathrm{Sp}(L^*,E^*) $ となり、スペクトルとその双対との間に対称的な双対性が成立する。
• 全スペクトルに関しては、$ \sigma_{\delta,n}(L,E) = \sigma_{\pi,0}(L,E) = \mathrm{Sp}(L,E) $ であり、非イデアル部分空間では射影性が成り立たない（古典的ケースと同様）。
• ネーター的の場合、双対性関係 $ \sigma_{\delta,k}(L,E) = \sigma_{\pi,n-k}(L^*,E^*) $ および $ \sigma_{\pi,k}(L,E) = \sigma_{\delta,n-k}(L^*,E^*) $ が成り立ち、深い対称性を反映する。