[論文レビュー] Dual representation of risk measures on Orlicz spaces

Niushan Gao, Denny H. Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Risk and Portfolio Optimization被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Orlicz空間 $L^\Phi$ 内の凸集合について、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件を確立している。その条件は、共役Orlicz関数 $\Phi$ も $\Psi$ も $\Delta_2$-条件を満たさない場合、Fenchel-Moreau双対表現が成立しない一貫性のあるリスク測度が存在することを示しており、このような条件下では双対表現に根本的な制限が生じることを明らかにしている。

ABSTRACT

Let $(\Phi,\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\Phi$, order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$; that is, a convex set is $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ are equivalent if and only if either $\Phi$ or $\Psi$ satisfies the $\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \emph{If (and only if) $\Phi$ and $\Psi$ both fail the $\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\Phi, L^\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\Phi,H^\Psi)$.

研究の動機と目的

• Orlicz空間における凸集合の順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性の同値性に関するファイナンシャルマセマティクス分野における長年の未解決問題を解消すること。
• $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 位相におけるKrein-Smulian定理が成立する条件を明確にすること。
• $L^\Phi$ 上の一貫性のあるリスク測度が、双対ペア $(L^\Phi, L^\Psi)$ に対してFenchel-Moreau双対表現を有する条件を特定すること。
• Orliczハーツの双対ペア $(H^\Phi, H^\Psi)$ に対しても分析を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、双対ペア $(L^\Phi, L^\Psi)$ によって誘導される弱位相 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ におけるOrlicz空間 $L^\Phi$ の凸集合の位相的性質を分析している。
• ノルム有界な凸集合に対しては、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件が、$\Phi$ もしくは $\Psi$ の少なくとも一方が $\Delta_2$-条件を満たすことであることを確立している。
• Krein-Smulian定理の正当性が $\Delta_2$-条件と関連することを同定し、その証明に用いている。
• Orlicz空間における双対性理論と共役Orlicz関数の性質を用いて、Fenchel-Moreau表現の失敗を分析している。
• 閉性と双対性の性質を、Orliczハーツ $H^\Phi$ と $H^\Psi$ に拡張し、これらの部分空間における挙動を比較している。
• 両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合に、Fatou性質を有するが $(L^\Phi, L^\Psi)$ に対してFenchel-Moreau双対表現を有さないリスク測度の反例を構成している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Orlicz空間 $L^\Phi$ 内の凸集合について、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値となる条件は何か？
• RQ2 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 位相におけるKrein-Smulian定理が $L^\Phi$ 上で成立するのはいつか？
• RQ3 $\Phi$ と $\Psi$ における $\Delta_2$-条件と、$L^\Phi$ 上のリスク測度がFenchel-Moreau双対表現を有する条件との関係は何か？
• RQ4 $L^\Phi$ 上の一貫性のあるリスク測度がFatou性質を有するが、$(L^\Phi, L^\Psi)$ に対して双対表現を有さないことはあり得るか？
• RQ5 $L^\Phi$ における結果は、Orliczハーツの双対ペア $(H^\Phi, H^\Psi)$ にどのように拡張できるか？

主な発見

• Orlicz空間 $L^\Phi$ 内の凸集合について、順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性が同値であるための必要十分条件は、$\Phi$ もしくは $\Psi$ の少なくとも一方が $\Delta_2$-条件を満たすことである。
• 順序閉性と $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-閉性の一致は、$\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ におけるKrein-Smulian定理の正当性と同値である。
• 両方の $\Phi$ と $\Psi$ が $\Delta_2$-条件を満たさない場合、Fatou性質を有するが $(L^\Phi, L^\Psi)$ に対してFenchel-Moreau双対表現を有さない一貫性のあるリスク測度が存在する。
• この双対表現の失敗は、共役Orlicz関数の両方が $\Delta_2$-条件を満たさないことに起因することが示されている。
• Orliczハーツ $(H^\Phi, H^\Psi)$ についての分析は、同様の結果を示しており、同じ条件下で同じ双対性の失敗がこれらの部分空間でも生じることを示している。
• 本論文は、双対表現が成立するのは、少なくとも一方のOrlicz関数が $\Delta_2$-条件を満たす場合に限ることを明確にした鋭い二分法を確立している。