[論文レビュー] Dual Teichm\" uller spaces

V. V. Fock|ArXiv.org|Feb 20, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、穴あきリーマン面および装飾付き表面のテイヒミュラー空間に明示的なグローバル座標を導入し、テイヒミュラー理論、測度付きラミネーション、および数学的物理の間の橋渡しを果たす。Weil-Petersson ポisson構造と整合する量子化手続きを用いて、関数の代数の非可換変形を構成し、$\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ の驚くべき対称性を明らかにした。これは2次元および3次元の量子重力、およびモジュラー関手との関連を示唆する。

ABSTRACT

We describe in elementary geometrical terms Teichm\" uller spaces of decorated and holed surfaces. We construct explicit global coordinates on them as well as on the spaces of measured laminations with compact and closed support respectively. We show explicitly that the latter spaces are asymptotically isomorphic to the former. We discuss briefly quantisation of Teichm\" uller spaces and some other application of the constructed approach. The paper does not require any preliminary knowledge of the subject above the Poincar\' e uniformisation theorem.

研究の動機と目的

• 穴あきリーマン面および装飾付き表面のテイヒミュラー空間に明示的なグローバル座標を構築すること。
• 長さ関数の連続性とスケーリング極限を通じて、これらの空間と測度付きラミネーションとの間の対応を確立すること。
• マッピングクラス群作用と整合する Weil-Petersson ポアソン構造と整合する関数代数の非可換変形を構築すること。
• マッピングクラス群のユニタリ的射影表現を定義し、それがモジュラー関手をなすと予想すること。
• 量子化と $\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ の下での対称性を通じて、3次元および2次元のリウヴィル重力と関連付けること。

提案手法

• Fockの明示的パrametrizationを用いて、穴あき表面のテイヒミュラー空間に座標系を導入する。
• ペナーの座標を用いて装飾付きテイヒミュラー空間を記述し、Weil-Peterssonシンプレクティック形式および退化したシンプレクティック構造を計算する。
• 脂肪グラフと双曲平面の理想三角形分割を用いて、表面をモデル化し、交比およびメビウス変換を用いて辺座標を定義する。
• Weil-Petersson ポアソン双ベクトル $P_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE(\Gamma)} \frac{\partial}{\partial z_{\overline{\alpha}}}} \wedge \frac{\partial}{\partial z_{{\overline{\alpha}}(1)}}$ を導出し、微分同相写像の下での不変性を示す。
• 量子化パrameter $\hbar$ を用いて、テイヒミュラー空間上の関数代数の非可換変形を構成し、$\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ の双対性を保存する。
• 全ティルティングの空間 ${\cal T}_{\infty}$ をテイヒミュラー空間の普遍被覆と特定し、面に沿った辺座標列に発散条件を満たすように埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき表面および装飾付き表面のテイヒミュラー空間に、どのように明示的なグローバル座標を構築できるか。
• RQ2 穴あき表面のテイヒミュラー空間と測度付きラミネーションの空間との間の明確な関係は何か、特にスケーリング極限において。
• RQ3 座標を用いて Weil-Petersson ポアソン構造をどのように明示的に実現できるか。また、微分同相写像の下での不変性は何か。
• RQ4 マッピングクラス群作用を尊重し、$\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ 対称性を示すような、テイヒミュラー空間上の関数代数の非可換変形を構築できるか。
• RQ5 得られた量子化代数の幾何学的・物理的解釈は、2次元または3次元の量子重力、および conformal field theory の観点からどのように解釈できるか。

主な発見

• ペナーの座標を用いて、穴あき表面および装飾付きテイヒミュラー空間の両方に対して明示的なグローバル座標が定義された。
• 辺座標を用いて、Weil-Petersson シンプレクティック形式およびポアソン双ベクトルが明示的に計算された：$\omega_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE({\tt T})} dz_{\overline{\alpha}} \wedge dz_{{\overline{\alpha}}(1)}$ および $P_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE(\Gamma)} \frac{\partial}{\partial z_{\overline{\alpha}}}} \wedge \frac{\partial}{\partial z_{{\overline{\alpha}}(1)}}$。
• 全ティルティングの空間 ${\cal T}_{\infty}$ は、テイヒミュラー空間の普遍被覆として特定され、面に沿った辺座標列に発散条件を満たすように ${\mathbb{R}}^{\infty}$ に埋め込まれた。
• Weil-Petersson 形式 $\omega_{WP}$ は閉形式であり、双ベクトル $P_{WP}$ は $\mathrm{Diff}({\mathbb{R}}P^1)$ の作用に関して不変なポアソン構造を定義する。
• 関数代数の非可換変形が構成され、$\hbar$ と $1/\hbar$ の間の双対性が示された。これはモジュラー関手構造を示唆する。
• この構成により、マッピングクラス群のユニタリ的射影表現が実現され、2次元リウヴィル重力における conformal block や3次元量子重力における状態としての幾何的解釈が得られた。